Matriser og determinanter ble oppdaget på det attende og det nittende århundre. Opprinnelig gjaldt deres utvikling transformasjon av geometriske objekter og løsning av systemer med lineære ligninger. Historisk sett var den tidlige vektleggingen på determinanten. I moderne lineære algebrabehandlingsmetoder vurderes matriser først. Det er verdt å tenke på dette spørsmålet en stund.
Svar fra dette kunnskapsområdet
Matriser gir en teoretisk og praktisk nyttig måte å løse mange problemer på, for eksempel:
- systemer med lineære ligninger;
- likevekt av faste stoffer (i fysikk);
- grafteori;
- Leontiefs økonomiske modell;
- skogbruk;
- datagrafikk og tomografi;
- genetikk;
- kryptografi;
- elektriske nettverk;
- fractal.
Faktisk har matrisealgebra for "dummies" en forenklet definisjon. Det uttrykkes som følger: dette er et vitenskapelig kunnskapsfelt derde aktuelle verdiene blir studert, analysert og fullt utforsket. I denne delen av algebra studeres ulike operasjoner på matrisene som studeres.
Hvordan jobbe med matriser
Disse verdiene regnes som like hvis de har samme dimensjoner og hvert element i den ene er lik det tilsvarende elementet i det andre. Det er mulig å multiplisere en matrise med en hvilken som helst konstant. Denne gitte kalles skalar multiplikasjon. Eksempel: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
Matriser av samme størrelse kan legges til og trekkes fra ved innganger, og verdier av kompatible størrelser kan multipliseres. Eksempel: legg til to A og B: A=[21−10]B=[1423]. Dette er mulig fordi A og B begge er matriser med to rader og like mange kolonner. Det er nødvendig å legge til hvert element i A til det tilsvarende elementet i B: A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]. Matriser trekkes fra på samme måte i algebra.
Matrisemultiplikasjon fungerer litt annerledes. Dessuten kan det være mange saker og alternativer, samt løsninger. Hvis vi multipliserer matrisen Apq og Bmn, så er produktet Ap×q+Bm×n=[AB]p×n. Oppføringen i gth rad og hth kolonne av AB er summen av produktet av de tilsvarende oppføringene i g A og h B. Det er bare mulig å multiplisere to matriser hvis antall kolonner i den første og rader i den andre er like. Eksempel: oppfylle betingelsen for vurdert A og B: A=[1−130]B=[2−11214]. Dette er mulig fordi den første matrisen inneholder 2 kolonner og den andre inneholder 2 rader. AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1].
Grunnleggende informasjon om matriser
De aktuelle verdiene organiserer informasjon som variabler og konstanter og lagrer dem i rader og kolonner, vanligvis k alt C. Hver posisjon i matrisen kalles et element. Eksempel: C=[1234]. Består av to rader og to kolonner. Element 4 er i rad 2 og kolonne 2. Du kan vanligvis navngi en matrise etter dens dimensjoner, den som heter Cmk har m rader og k kolonner.
Utvidede matriser
Betraktninger er utrolig nyttige ting som dukker opp i mange forskjellige bruksområder. Matriser var opprinnelig basert på systemer med lineære ligninger. Gitt følgende struktur av ulikheter, må følgende komplementerte matrise tas i betraktning:
2x + 3y – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
Skriv ned koeffisienter og svarverdier, inkludert alle minustegn. Hvis elementet med et negativt tall, vil det være lik "1". Det vil si at gitt et system med (lineære) ligninger, er det mulig å assosiere en matrise (rutenett med tall innenfor parentes) til den. Det er den som bare inneholder koeffisientene til det lineære systemet. Dette kalles den "utvidede matrisen". Rutenettet som inneholder koeffisientene fra venstre side av hver ligning har blitt "polstret" med svarene fra høyre side av hver ligning.
Rekord, altsåB-verdiene til matrisen tilsvarer x-, y- og z-verdiene i det opprinnelige systemet. Hvis det er riktig ordnet, sjekk det først og fremst. Noen ganger må du omorganisere termene eller sette inn nuller som plassholdere i matrisen som studeres eller studeres.
Gitt følgende ligningssystem, kan vi umiddelbart skrive den tilhørende utvidede matrisen:
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
Først, sørg for å omorganisere systemet som:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
Da er det mulig å skrive den tilhørende matrisen som: [11000113-1012]. Når du danner en utvidet en, er det verdt å bruke null for enhver post der det tilsvarende punktet i systemet med lineære ligninger er tomt.
Matrix Algebra: Properties of Operations
Hvis det er nødvendig å danne elementer kun fra koeffisientverdier, vil den vurderte verdien se slik ut: [110011-101]. Dette kalles "koeffisientmatrisen".
Ta hensyn til følgende utvidede matrisealgebra, er det nødvendig å forbedre den og legge til det tilhørende lineære systemet. Når det er sagt, er det viktig å huske at de krever at variablene er oversiktlige og ryddige. Og vanligvis når det er tre variabler, bruker du x, y og z i den rekkefølgen. Derfor bør det tilknyttede lineære systemet være:
x + 3y=4
2y - z=5
3x + z=-2.
Matrix size
De aktuelle elementene blir ofte referert til etter ytelsen. Størrelsen på en matrise i algebra er gitt sommål, siden rommet kan kalles annerledes. Målte mål på verdier er rader og kolonner, ikke bredde og lengde. For eksempel, matrise A:
[1234]
[2345]
[3456].
Siden A har tre rader og fire kolonner, er størrelsen på A 3 × 4.
→
↓
Linjer går sidelengs. Søylene går opp og ned. "Rad" og "kolonne" er spesifikasjoner og kan ikke byttes ut. Matrisestørrelser spesifiseres alltid med antall rader og deretter antall kolonner. Etter denne konvensjonen, følgende B:
[123]
[234] er 2 × 3. Hvis en matrise har samme antall rader som kolonner, kalles den en "kvadrat". For eksempel koeffisientverdier ovenfra:
[110]
[011]
[-101] er en 3×3 kvadratisk matrise.
Matrisenotasjon og formatering
Formateringsmerknad: Når du for eksempel skal skrive en matrise, er det viktig å bruke parenteser . Absolutte verdistolper || brukes ikke fordi de har en annen retning i denne sammenhengen. Parenteser eller bukseseler {} brukes aldri. Eller et annet grupperingssymbol, eller ingen i det hele tatt, siden disse presentasjonene ikke har noen betydning. I algebra er en matrise alltid innenfor firkantede parenteser. Bare korrekt notasjon må brukes, ellers kan svar anses forvridd.
Som nevnt tidligere, kalles verdiene i en matrise for poster. Uansett grunn er de aktuelle elementene vanligvis skrevetstore bokstaver, for eksempel A eller B, og oppføringer spesifiseres med tilsvarende små bokstaver, men med abonnenter. I matrise A kalles verdiene vanligvis "ai, j", der i er raden til A og j er kolonnen til A. For eksempel er a3, 2=8. Oppføringen for a1, 3 er 3.
For mindre matriser, de med færre enn ti rader og kolonner, utelates det senkede kommaet noen ganger. For eksempel kan "a1, 3=3" skrives som "a13=3". Dette vil åpenbart ikke fungere for store matriser, da a213 vil være uklart.
Matrisetyper
Noen ganger klassifisert i henhold til postkonfigurasjonene deres. For eksempel, en slik matrise som har alle null oppføringer under diagonalen øverst-venstre-nederst-høyre "diagonal" kalles øvre trekantet. Blant annet kan det være andre typer og typer, men de er lite nyttige. Generelt oppfattes det mest som øvre trekantet. Verdier med eksponenter som ikke er null bare horisont alt kalles diagonale verdier. Lignende typer har ikke-null-oppføringer der alle er 1, slike svar kalles identiske (av grunner som vil bli tydelige når det er lært og forstått hvordan man multipliserer de aktuelle verdiene). Det finnes mange lignende forskningsindikatorer. 3 × 3-identiteten er betegnet med I3. På samme måte er 4 × 4-identiteten I4.
Matrix Algebra and Linear Spaces
Merk at trekantede matriser er kvadratiske. Men diagonalene er trekantede. I lys av dette er detorget. Og identiteter betraktes som diagonaler og derfor trekantede og firkantede. Når det kreves å beskrive en matrise, spesifiserer man vanligvis ganske enkelt sin egen mest spesifikke klassifisering, siden dette innebærer alle de andre. Klassifiser følgende forsknings alternativer:som 3 × 4. I dette tilfellet er de ikke kvadratiske. Derfor kan ikke verdiene være noe annet. Følgende klassifisering:er mulig som 3 × 3. Men det regnes som et kvadrat, og det er ikke noe spesielt med det. Klassifisering av følgende data:som 3 × 3 øvre trekantet, men det er ikke diagon alt. Det er sant at i verdiene som vurderes kan det være ytterligere nuller på eller over det lokaliserte og indikerte rommet. Klassifiseringen som studeres er videre: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], hvor den er representert som en diagonal og dessuten er alle oppføringene 1. Da er dette en 3 × 3 identitet, I3.
Siden analoge matriser per definisjon er kvadratiske, trenger du bare å bruke en enkelt indeks for å finne dimensjonene deres. For at to matriser skal være like, må de ha samme parameter og ha samme oppføringer på samme steder. Anta for eksempel at det er to elementer som vurderes: A=[1 3 0] [-2 0 0] og B=[1 3] [-2 0]. Disse verdiene kan ikke være de samme siden de er forskjellige i størrelse.
Selv om A og B er: A=[3 6] [2 5] [1 4] og B=[1 2 3] [4 5 6] - er de fortsatt ikke like samme ting. A og B har hverseks oppføringer og har også de samme tallene, men dette er ikke nok for matriser. A er 3×2. Og B er en 2×3-matrise A for 3×2 er ikke 2×3. Det spiller ingen rolle om A og B har samme mengde data eller til og med de samme tallene som postene. Hvis A og B ikke har samme størrelse og form, men har identiske verdier på lignende steder, er de ikke like.
Lignende operasjoner i området under vurdering
Denne egenskapen til matriselikhet kan gjøres om til oppgaver for uavhengig forskning. For eksempel er det gitt to matriser, og det er angitt at de er like. I dette tilfellet må du bruke denne likheten for å utforske og få svar på verdiene til variablene.
Eksempler og løsninger på matriser i algebra kan varieres, spesielt når det gjelder likheter. Gitt at følgende matriser vurderes, er det nødvendig å finne x- og y-verdiene. For at A og B skal være like, må de ha samme størrelse og form. Faktisk er de slike, fordi hver av dem er 2 × 2 matriser. Og de skal ha de samme verdiene på de samme stedene. Da må a1, 1 være lik b1, 1, a1, 2 må være lik b1, 2, og så videre. dem). Men a1, 1=1 er åpenbart ikke lik b1, 1=x. For at A skal være identisk med B, må oppføringen ha a1, 1=b1, 1, så den kan være 1=x. Tilsvarende er indeksene a2, 2=b2, 2, så 4=y. Da er løsningen: x=1, y=4. Gitt at følgendematriser er like, du må finne verdiene til x, y og z. For å ha A=B, må koeffisientene ha alle oppføringer like. Det vil si a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 og så videre. Spesielt må:
4=x
-2=y + 4
3=z / 3.
Som du kan se fra de valgte matrisene: med 1, 1-, 2, 2- og 3, 1-elementer. Ved å løse disse tre ligningene får vi svaret: x=4, y=-6 og z=9. Matrisealgebra og matriseoperasjoner er forskjellige fra det alle er vant til, men de er ikke reproduserbare.
Tilleggsinformasjon i dette området
Lineær matrisealgebra er studiet av lignende sett med ligninger og deres transformasjonsegenskaper. Dette kunnskapsfeltet lar deg analysere rotasjoner i rommet, tilnærme minste kvadrater, løse tilhørende differensialligninger, bestemme en sirkel som går gjennom tre gitte punkter, og løse mange andre problemer innen matematikk, fysikk og teknologi. Den lineære algebraen til en matrise er egentlig ikke den tekniske betydningen av ordet som brukes, det vil si et vektorrom v over et felt f, osv.
Matrise og determinant er ekstremt nyttige lineære algebraverktøy. En av de sentrale oppgavene er løsningen av matriseligningen Ax=b, for x. Selv om dette teoretisk kan løses ved å bruke invers x=A-1 b. Andre metoder, som gaussisk eliminering, er numerisk mer pålitelige.
I tillegg til å bli brukt til å beskrive studiet av lineære sett med ligninger,begrepet ovenfor brukes også for å beskrive en viss type algebra. Spesielt har L over et felt F strukturen til en ring med alle de vanlige aksiomer for intern addisjon og multiplikasjon, sammen med distributive lover. Derfor gir det mer struktur enn en ring. Lineær matrisealgebra tillater også en ytre operasjon av multiplikasjon med skalarer som er elementer i det underliggende feltet F. For eksempel dannes settet av alle betraktede transformasjoner fra et vektorrom V til seg selv over et felt F over F. Et annet eksempel på lineær algebra er settet av alle reelle kvadratiske matriser over et felt R reelle tall.
