Emnet «aritmetisk progresjon» studeres i det generelle algebraløpet på skolene på 9. trinn. Dette emnet er viktig for videre dybdestudier av matematikk i tallserier. I denne artikkelen vil vi bli kjent med den aritmetiske progresjonen, dens forskjell, samt med typiske oppgaver som skolebarn kan stå overfor.
Konseptet med algebraisk progresjon
Numerisk progresjon er en sekvens av tall der hvert påfølgende element kan hentes fra det forrige, hvis en matematisk lov brukes. Det er to enkle typer progresjon: geometrisk og aritmetisk, som også kalles algebraisk. La oss dvele ved det mer detaljert.
La oss forestille oss et rasjonelt tall, angir det med symbolet a1, der indeksen angir ordningens tall i serien som vurderes. La oss legge til et annet tall til 1 , la oss betegne det d. Så den andreet element i en serie kan reflekteres som følger: a2=a1+d. Legg til d igjen, vi får: a3=a2+d. Hvis du fortsetter denne matematiske operasjonen, kan du få en hel serie med tall, som vil bli k alt en aritmetisk progresjon.
Som det kan forstås av ovenstående, for å finne det n-te elementet i denne sekvensen, må du bruke formelen: a =a1+ (n -1)d. Ved å erstatte n=1 i uttrykket får vi faktisk a1=a1, hvis n=2, betyr formelen: a2=a1 + 1d, og så videre.
For eksempel, hvis forskjellen til en aritmetisk progresjon er 5, og a1=1, betyr dette at tallserien for den aktuelle typen ser slik ut: 1, 6, 11, 16, 21, … Som du kan se, er hver av termene 5 større enn den forrige.
Formler for forskjellen i aritmetisk progresjon
Fra definisjonen ovenfor av den betraktede tallserien, følger det at for å bestemme den, må du kjenne til to tall: a1 og d. Sistnevnte kalles forskjellen på denne progresjonen. Det bestemmer unikt oppførselen til hele serien. Faktisk, hvis d er positiv, vil tallrekkene stadig øke, tvert imot, i tilfellet med negativ d, vil tallene i rekken kun øke modulo, mens deres absolutte verdi vil avta med økende antall n.
Hva er forskjellen på den aritmetiske progresjonen? Tenk på de to hovedformlene som brukes til å beregne denne verdien:
- d=an+1-a , denne formelen følger direkte av definisjonen av den aktuelle tallserien.
- d=(-a1+a)/(n-1), dette uttrykket oppnås ved å uttrykke d fra formelen gitt i forrige avsnitt av artikkelen. Merk at dette uttrykket blir ubestemt (0/0) hvis n=1. Dette skyldes det faktum at det er nødvendig å kjenne til minst 2 elementer i serien for å bestemme forskjellen.
Disse to grunnleggende formlene brukes til å løse ethvert problem med å finne progresjonsforskjellen. Det er imidlertid en annen formel du også trenger å vite om.
Summen av de første elementene
Formelen som kan brukes til å bestemme summen av et hvilket som helst antall medlemmer av en algebraisk progresjon, ifølge historiske bevis, ble først oppnådd av "prinsen" av matematikk på 1700-tallet, Carl Gauss. En tysk vitenskapsmann, mens han fortsatt var en gutt i grunnskolen på en landsbyskole, la merke til at for å legge til naturlige tall i serien fra 1 til 100, må du først summere det første elementet og det siste (den resulterende verdien vil være lik til summen av nest siste og andre, nest siste og tredje element, og så videre), og så skal dette tallet multipliseres med antallet av disse beløpene, det vil si med 50.
Formelen som gjenspeiler det oppgitte resultatet på et bestemt eksempel kan generaliseres til et vilkårlig tilfelle. Det vil se slik ut: S =n/2(a +a1). Merk at for å finne den angitte verdien, er det ikke nødvendig med kunnskap om differansen,hvis to ledd i progresjonen er kjent (a og a1).
Eksempel 1. Bestem forskjellen ved å kjenne de to leddene i rekken a1 og an
La oss vise hvordan du bruker formlene nevnt ovenfor i artikkelen. La oss gi et enkelt eksempel: forskjellen på den aritmetiske progresjonen er ukjent, det er nødvendig å bestemme hva den vil være lik hvis a13=-5, 6 og a1 =-12, 1.
Siden vi kjenner verdiene til to elementer i den numeriske rekkefølgen, og ett av dem er det første tallet, kan vi bruke formel nr. 2 for å bestemme forskjellen d. Vi har: d=(-1(-12, 1)+(-5, 6))/12=0. 54167. I uttrykket brukte vi verdien n=13, siden medlemmet med dette løpenummeret er kjent.
Den resulterende forskjellen indikerer at progresjonen øker, til tross for at elementene gitt i tilstanden til problemet har en negativ verdi. Det kan sees at a13>a1, selv om |a13|<|a 1 |.
Eksempel 2. Positive medlemmer av progresjonen i eksempel 1
La oss bruke resultatet fra forrige eksempel til å løse et nytt problem. Den er formulert som følger: fra hvilket sekvensnummer begynner elementene i progresjonen i eksempel 1 å ta positive verdier?
Som vist øker progresjonen der a1=-12, 1 og d=0. 54167, så fra et eller annet tall vil tallene begynne å ta bare positive verdier. For å bestemme dette tallet n, må man løse en enkel ulikhet, som ermatematisk skrevet som følger: a >0 eller, ved å bruke riktig formel, omskriver vi ulikheten: a1 + (n-1)d>0. Det er nødvendig å finne den ukjente n, la oss uttrykke den: n>-1a1/d + 1. Nå gjenstår det å erstatte de kjente verdiene av forskjellen og det første medlemmet av sekvensen. Vi får: n>-1(-12, 1) /0, 54167 + 1=23, 338 eller n>23, 338. Siden n bare kan ta heltallsverdier, følger det av den resulterende ulikheten at alle medlemmer av serien som vil har et tall større enn 23 vil være positivt.
Sjekk svaret ditt ved å bruke formelen ovenfor for å beregne de 23. og 24. elementene i denne aritmetiske progresjonen. Vi har: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (negativt tall); a24=-12, 1 + 230. 54167=0, 3584 (positiv verdi). Dermed er resultatet som er oppnådd korrekt: fra n=24 vil alle medlemmer av tallserien være større enn null.
Eksempel 3. Hvor mange logger får plass?
La oss gi et merkelig problem: under tømmerhogst ble det besluttet å stable sagede stokker oppå hverandre som vist i figuren under. Hvor mange logger kan stables på denne måten, vel vitende om at 10 rader vil passe tot alt?
På denne måten å stable logger på, kan du legge merke til en interessant ting: hver påfølgende rad vil inneholde en logg mindre enn den forrige, det vil si at det er en algebraisk progresjon, hvor forskjellen er d=1. Forutsatt at antallet logger i hver rad er medlem av denne progresjonen,og også gitt at a1=1 (bare én logg vil passe helt øverst), finner vi tallet a10. Vi har: a10=1 + 1(10-1)=10. Det vil si at i 10. rad, som ligger på bakken, vil det være 10 stokker.
Den totale mengden av denne "pyramideformede" konstruksjonen kan oppnås ved å bruke Gauss-formelen. Vi får: S10=10/2(10+1)=55 logger.
