Georg Kantor (bildet er gitt senere i artikkelen) er en tysk matematiker som skapte settteori og introduserte begrepet transfinite tall, uendelig store, men forskjellige fra hverandre. Han definerte også ordenstall og kardin altall og laget deres aritmetikk.
Georg Kantor: kort biografi
Født i St. Petersburg 03.03.1845. Faren hans var en danske av protestantisk tro, Georg-Valdemar Kantor, som drev handel, blant annet på børsen. Hans mor Maria Bem var katolikk og kom fra en familie med fremtredende musikere. Da Georgs far ble syk i 1856, flyttet familien først til Wiesbaden og deretter til Frankfurt på jakt etter et mildere klima. Guttens matematiske talenter viste seg allerede før 15-årsdagen hans mens han studerte ved private skoler og gymsaler i Darmstadt og Wiesbaden. Til slutt overbeviste Georg Cantor faren om hans faste intensjon om å bli matematiker, ikke ingeniør.
Etter et kort studium ved universitetet i Zürich, flyttet Kantor i 1863 til universitetet i Berlin for å studere fysikk, filosofi og matematikk. Der hamlærte:
- Karl Theodor Weierstrass, hvis spesialisering i analyse sannsynligvis hadde størst innflytelse på Georg;
- Ernst Eduard Kummer, som underviste i høyere aritmetikk;
- Leopold Kronecker, tallteoretiker som senere motarbeidet Cantor.
Etter å ha tilbrakt ett semester ved universitetet i Göttingen i 1866, skrev Georg året etter sin doktoravhandling med tittelen "I matematikk er kunsten å stille spørsmål mer verdifull enn å løse problemer", om et problem som Carl Friedrich Gauss hadde forlatt uløst i hans Disquisitiones Arithmeticae (1801). Etter å ha undervist kort ved Berlin School for Girls, begynte Kantor å jobbe ved Universitetet i Halle, hvor han ble til slutten av livet, først som lærer, fra 1872 som adjunkt og fra 1879 som professor.
Research
I begynnelsen av en serie på 10 artikler fra 1869 til 1873 vurderte Georg Cantor tallteori. Arbeidet reflekterte hans lidenskap for emnet, hans studier av Gauss og innflytelsen fra Kronecker. Etter forslag fra Heinrich Eduard Heine, Cantors kollega i Halle, som anerkjente hans matematiske talent, vendte han seg til teorien om trigonometriske serier, der han utvidet begrepet reelle tall.
Basert på arbeidet med funksjonen til en kompleks variabel av den tyske matematikeren Bernhard Riemann i 1854, viste Kantor i 1870 at en slik funksjon bare kan representeres på én måte - ved trigonometriske serier. Betraktning av et sett med tall (poeng) somikke ville motsi et slikt syn, førte ham for det første i 1872 til definisjonen av irrasjonelle tall i form av konvergerende sekvenser av rasjonelle tall (brøker av heltall) og videre til begynnelsen av arbeidet med hans livsverk, mengden teori og konseptet. av transfinite tall.
settteori
Georg Cantor, hvis settteori oppsto i korrespondanse med matematikeren ved Technical Institute of Braunschweig Richard Dedekind, var en venn av ham siden barndommen. De konkluderte med at mengder, enten endelige eller uendelige, er samlinger av elementer (f.eks. tall, {0, ±1, ±2…}) som har en viss egenskap samtidig som de beholder sin individualitet. Men da Georg Cantor brukte en en-til-en-korrespondanse (for eksempel {A, B, C} til {1, 2, 3}) for å studere egenskapene deres, skjønte han raskt at de er forskjellige i graden av medlemskap, til og med hvis de var uendelige mengder., dvs. sett, hvor en del eller delmengde inkluderer like mange objekter som den selv. Metoden hans ga snart fantastiske resultater.
I 1873 viste Georg Cantor (matematiker) at rasjonelle tall, selv om de er uendelige, kan telles fordi de kan settes i en-til-en korrespondanse med naturlige tall (dvs. 1, 2, 3, osv.). d.). Han viste at settet med reelle tall, bestående av irrasjonelle og rasjonelle, er uendelig og utellelig. Mer paradoks alt nok beviste Cantor at settet med alle algebraiske tall inneholder like mange elementer somhvor mange er settet av alle heltall, og at transcendentale tall, som ikke er algebraiske, som er en delmengde av irrasjonelle tall, er utellelige, og derfor er tallet deres større enn heltall, og bør betraktes som uendelige.
Motstandere og støttespillere
Men Kantors artikkel, der han først la frem disse resultatene, ble ikke publisert i Krell, da en av anmelderne, Kronecker, var sterkt imot. Men etter Dedekinds inngripen ble den utgitt i 1874 under tittelen "Om de karakteristiske egenskapene til alle reelle algebraiske tall."
Vitenskap og privatliv
Samme år, mens han var på bryllupsreise med sin kone Wally Gutman i Interlaken, Sveits, møtte Kantor Dedekind, som snakket positivt om sin nye teori. Georges lønn var liten, men med pengene til faren, som døde i 1863, bygde han et hus til sin kone og fem barn. Mange av hans artikler ble publisert i Sverige i det nye tidsskriftet Acta Mathematica, redigert og grunnlagt av Gesta Mittag-Leffler, som var blant de første som anerkjente talentet til den tyske matematikeren.
Forbindelse med metafysikk
Cantors teori ble et helt nytt studieemne angående det uendeliges matematikk (f.eks. serier 1, 2, 3, etc., og mer komplekse sett), som var sterkt avhengig av en-til-en korrespondanse. Kantors utvikling av nye iscenesettelserspørsmål om kontinuitet og uendelighet ga forskningen hans en tvetydig karakter.
Da han argumenterte for at uendelige tall virkelig eksisterer, vendte han seg til antikkens og middelalderens filosofi angående faktisk og potensiell uendelighet, så vel som til den tidlige religiøse undervisningen som foreldrene hans ga ham. I 1883, i sin bok Foundations of General Set Theory, kombinerte Kantor konseptet sitt med Platons metafysikk.
Kronecker, som hevdet at bare heltall «eksisterer» («Gud skapte heltallene, resten er menneskets verk»), avviste i mange år på det sterkeste resonnementet hans og forhindret hans utnevnelse ved Universitetet i Berlin.
Transfinite numbers
I 1895-97. Georg Cantor formet fullt ut sin forestilling om kontinuitet og uendelighet, inkludert uendelige ordenstall og kardin altall, i sitt mest kjente verk, utgitt som Bidrag til etableringen av teorien om transfinite tall (1915). Dette essayet inneholder konseptet hans, som han ble ledet til ved å demonstrere at et uendelig sett kan settes i en en-til-en-korrespondanse med en av undergruppene.
Under det minst transfinite kardin altallet mente han kardinaliteten til ethvert sett som kan settes i en-til-en korrespondanse med naturlige tall. Cantor k alte det aleph-null. Store transfinitte mengder betegnes alef-en, alef-to osv. Han videreutviklet aritmetikken til transfinitte tall, som var analog med endelig aritmetikk. så hanberiket begrepet uendelighet.
Opposisjonen han møtte og tiden det tok før ideene hans ble akseptert fullt ut, skyldes vanskeligheten med å revurdere det eldgamle spørsmålet om hva et tall er. Cantor viste at settet med punkter på en linje har en høyere kardinalitet enn alef-null. Dette førte til det velkjente problemet med kontinuumhypotesen - det er ingen kardin altall mellom alef-null og potensen til poeng på linjen. Dette problemet i første og andre halvdel av 1900-tallet vakte stor interesse og ble studert av mange matematikere, inkludert Kurt Gödel og Paul Cohen.
Depresjon
Biografien om Georg Kantor siden 1884 ble overskygget av hans psykiske lidelse, men han fortsatte å jobbe aktivt. I 1897 var han med på å holde den første internasjonale matematiske kongressen i Zürich. Delvis fordi han ble motarbeidet av Kronecker, sympatiserte han ofte med unge aspirerende matematikere og prøvde å finne en måte å redde dem fra trakassering av lærere som følte seg truet av nye ideer.
Anerkjennelse
Ved århundreskiftet ble hans arbeid fullt ut anerkjent som grunnlaget for funksjonsteori, analyse og topologi. I tillegg fungerte bøkene til kantor Georg som en drivkraft for videreutviklingen av de intuisjonistiske og formalistiske skolene for matematikkens logiske grunnlag. Dette endret undervisningssystemet betydelig og forbindes ofte med den "nye matematikken".
I 1911 var Kantor blant de inviterte tilfeiring av 500-årsjubileet til University of St. Andrews i Skottland. Han dro dit i håp om å møte Bertrand Russell, som i sitt nylig publiserte verk Principia Mathematica gjentatte ganger refererte til den tyske matematikeren, men dette skjedde ikke. Universitetet tildelte Kantor en æresgrad, men på grunn av sykdom kunne han ikke ta imot prisen personlig.
Kantor ble pensjonist i 1913, levde i fattigdom og sultet under første verdenskrig. Feiringen til ære for hans 70-årsdag i 1915 ble avlyst på grunn av krigen, men en liten seremoni fant sted hjemme hos ham. Han døde 01.06.1918 i Halle, på et psykiatrisk sykehus, hvor han tilbrakte de siste årene av sitt liv.
Georg Kantor: biografi. Familie
9. august 1874 giftet en tysk matematiker seg med Wally Gutmann. Paret hadde 4 sønner og 2 døtre. Det siste barnet ble født i 1886 i et nytt hus kjøpt av Kantor. Farens arv hjalp ham forsørge familien. Kantors helse ble sterkt påvirket av hans yngste sønns død i 1899, og depresjonen har ikke forlatt ham siden.
