Formler for pyramidens volum full og avkortet. Volumet av Cheops-pyramiden

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sist endret: 2023-12-17 05:37

Evnen til å beregne volumet av romlige figurer er viktig for å løse en rekke praktiske problemer innen geometri. En av de vanligste formene er pyramiden. I denne artikkelen vil vi vurdere formlene for volumet til pyramiden, både full og avkortet.

Pyramid som en tredimensjonal figur

Alle vet om de egyptiske pyramidene, så de har en god ide om hvilken figur som vil bli diskutert. Imidlertid er egyptiske steinstrukturer bare et spesi altilfelle av en enorm klasse av pyramider.

Det betraktede geometriske objektet i det generelle tilfellet er en polygonal base, hvor hvert toppunkt er forbundet med et punkt i rommet som ikke tilhører grunnplanet. Denne definisjonen fører til en figur som består av én n-gon og n trekanter.

Enhver pyramide består av n+1 flater, 2n kanter og n+1 toppunkter. Siden figuren som vurderes er et perfekt polyeder, følger antallet markerte elementer Euler-likheten:

2n=(n+1) + (n+1) - 2.

Polygonet ved basen gir navnet på pyramiden,for eksempel trekantet, femkantet og så videre. Et sett med pyramider med forskjellige baser er vist på bildet nedenfor.

Punkten der n trekanter i figuren henger sammen kalles toppen av pyramiden. Hvis en perpendikulær senkes fra den til basen og den skjærer den i det geometriske sentrum, vil en slik figur bli k alt en rett linje. Hvis denne betingelsen ikke er oppfylt, er det en skråstilt pyramide.

En rett figur hvis base er dannet av en likesidet (likekantet) n-gon kalles regulær.

Pyramidvolumformel

For å beregne volumet til pyramiden bruker vi integralregningen. For å gjøre dette deler vi figuren med sekantplan parallelt med basen i et uendelig antall tynne lag. Figuren nedenfor viser en firkantet pyramide med høyde h og sidelengde L, hvor et tynt snittlag er markert med en firkant.

Arealet til hvert slikt lag kan beregnes ved hjelp av formelen:

A(z)=A₀(h-z)²/h².

Her er A₀ arealet av basen, z er verdien til den vertikale koordinaten. Det kan sees at hvis z=0, så gir formelen verdien A₀.

For å få formelen for volumet til en pyramide, bør du beregne integralet over hele høyden av figuren, det vil si:

V=∫^h₀(A(z)dz).

Ved å erstatte avhengigheten A(z) og beregne antideriverten, kommer vi til uttrykket:

V=-A₀(h-z)³/(3h²)| ^h₀=1/3A₀h.

Vi fikk formelen for volumet til pyramiden. For å finne verdien av V er det nok å multiplisere høyden på figuren med arealet av basen, og deretter dele resultatet med tre.

Merk at det resulterende uttrykket er gyldig for å beregne volumet til en pyramide av en vilkårlig type. Det vil si at den kan skråstilles, og dens base kan være en vilkårlig n-gon.

Riktig pyramide og volum

Den generelle formelen for volum som er oppnådd i avsnittet ovenfor kan avgrenses i tilfellet med en pyramide med riktig base. Arealet til en slik base beregnes ved å bruke følgende formel:

A₀=n/4L²ctg(pi/n).

Her er L sidelengden til en regulær polygon med n toppunkter. Symbolet pi er tallet pi.

Ved å erstatte uttrykket for A₀ i den generelle formelen, får vi volumet til en vanlig pyramide:

V=1/3n/4L²hctg(pi/n)=n/12 L²hctg(pi/n).

For eksempel, for en trekantet pyramide, fører denne formelen til følgende uttrykk:

V₃=3/12L²hctg(60^o)=√3/12L²t.

For en vanlig firkantet pyramide blir volumformelen:

V₄=4/12L²hctg(45^o)=1/3L²t.

Å bestemme volumet til vanlige pyramider krever at du kjenner siden av basen og høyden på figuren.

Trunkert pyramide

Anta at vi token vilkårlig pyramide og kuttet av en del av sideflaten som inneholder toppen. Den gjenværende figuren kalles en avkortet pyramide. Den består allerede av to n-gonale baser og n trapeser som forbinder dem. Hvis skjæreplanet var parallelt med bunnen av figuren, dannes en avkortet pyramide med parallelle lignende baser. Det vil si at lengdene på sidene til en av dem kan fås ved å multiplisere lengdene til den andre med en koeffisient k.

Bildet over viser en avkortet regulær sekskantet pyramide. Det kan sees at den øvre basen, som den nedre, er dannet av en vanlig sekskant.

Formelen for volumet til en avkortet pyramide, som kan utledes ved hjelp av en integralregning som ligner på den gitte, er:

V=1/3t(A₀+ A₁+ √(A₀ A₁)).

Hvor A₀ og A₁ er områdene av henholdsvis den nedre (store) og den øvre (små) basen. Variabelen h er høyden på den avkortede pyramiden.

Volumet av Keopspyramiden

Det er interessant å løse problemet med å bestemme volumet som den største egyptiske pyramiden inneholder inni.

I 1984 etablerte de britiske egyptologene Mark Lehner og Jon Goodman de nøyaktige dimensjonene til Cheops-pyramiden. Den opprinnelige høyden var 146,50 meter (for tiden omtrent 137 meter). Gjennomsnittlig lengde på hver av de fire sidene av strukturen var 230.363 meter. Basen av pyramiden er firkantet med høy nøyaktighet.

La oss bruke de gitte tallene for å bestemme volumet til denne steingiganten. Siden pyramiden er en vanlig firkantet, er formelen gyldig for den:

V₄=1/3L²h.

Erstatt tallene, vi får:

V₄=1/3(230, 363)²146, 5 ≈ 2591444 m ³.

Volumet av Cheops-pyramiden er nesten 2,6 millioner m³. Til sammenligning bemerker vi at OL-bassenget har et volum på 2,5 tusen m³. Det vil si at for å fylle hele Cheops-pyramiden, vil det være behov for mer enn 1000 av disse bassengene!