Fourier-serien er en representasjon av en vilkårlig tatt funksjon med en bestemt periode som en serie. Generelt kalles denne løsningen dekomponering av et element på ortogonal basis. Utvidelsen av funksjoner i en Fourier-serie er et ganske kraftig verktøy for å løse ulike problemer på grunn av egenskapene til denne transformasjonen ved integrering, differensiering, samt forskyvning av et uttrykk i et argument og konvolusjon.
En person som ikke er kjent med høyere matematikk, så vel som med verkene til den franske vitenskapsmannen Fourier, vil mest sannsynlig ikke forstå hva disse "rekkene" er og hva de er til for. I mellomtiden har denne transformasjonen blitt ganske tett i livene våre. Det brukes ikke bare av matematikere, men også av fysikere, kjemikere, leger, astronomer, seismologer, havforskere og mange andre. La oss se nærmere på verkene til den store franske vitenskapsmannen, som gjorde en oppdagelse forut for sin tid.
Man and the Fourier Transform
Fourier-serier er en av metodene (sammen med analyse og andre) for Fourier-transformasjonen. Denne prosessen skjer hver gang en person hører en lyd. Øret vårt konverterer automatisk lydenbølger. De oscillerende bevegelsene til elementærpartikler i et elastisk medium dekomponeres i rader (langs spekteret) av påfølgende verdier av volumnivået for toner med forskjellige høyder. Deretter gjør hjernen disse dataene til lyder som er kjent for oss. Alt dette skjer i tillegg til vårt ønske eller vår bevissthet, av seg selv, men for å forstå disse prosessene vil det ta flere år å studere høyere matematikk.
Mer om Fourier-transformasjonen
Fourier-transformasjon kan utføres med analytiske, numeriske og andre metoder. Fourier-serier refererer til tallmetoden for å dekomponere eventuelle oscillerende prosesser - fra havvann og lysbølger til sykluser av solaktivitet (og andre astronomiske objekter). Ved å bruke disse matematiske teknikkene er det mulig å analysere funksjoner, som representerer alle oscillerende prosesser som en serie av sinusformede komponenter som går fra minimum til maksimum og omvendt. Fourier-transformasjonen er en funksjon som beskriver fasen og amplituden til sinusoider som tilsvarer en spesifikk frekvens. Denne prosessen kan brukes til å løse svært komplekse ligninger som beskriver dynamiske prosesser som skjer under påvirkning av termisk, lys eller elektrisk energi. Fourier-serier gjør det også mulig å isolere de konstante komponentene i komplekse oscillerende signaler, noe som gjorde det mulig å korrekt tolke de oppnådde eksperimentelle observasjonene innen medisin, kjemi og astronomi.
Historisk bakgrunn
Grunnleggeren av denne teorienJean Baptiste Joseph Fourier er en fransk matematiker. Denne transformasjonen ble senere oppk alt etter ham. Opprinnelig brukte forskeren sin metode for å studere og forklare mekanismene for varmeledning - spredningen av varme i faste stoffer. Fourier foreslo at den innledende uregelmessige fordelingen av en hetebølge kan dekomponeres i de enkleste sinusoidene, som hver vil ha sitt eget temperaturminimum og maksimum, så vel som sin egen fase. I dette tilfellet vil hver slik komponent bli målt fra minimum til maksimum og omvendt. Den matematiske funksjonen som beskriver de øvre og nedre toppene av kurven, samt fasen til hver av harmoniske, kalles Fourier-transformasjonen av temperaturfordelingsuttrykket. Forfatteren av teorien reduserte den generelle fordelingsfunksjonen, som er vanskelig å beskrive matematisk, til en veldig letthåndterlig serie med periodiske cosinus- og sinusfunksjoner som summerer seg til den opprinnelige fordelingen.
Transformasjonsprinsippet og samtidens synspunkter
Vitenskapsmannens samtidige - de ledende matematikerne på begynnelsen av det nittende århundre - godtok ikke denne teorien. Hovedinnvendingen var Fouriers påstand om at en diskontinuerlig funksjon som beskriver en rett linje eller en diskontinuerlig kurve kan representeres som en sum av sinusformede uttrykk som er kontinuerlige. Som et eksempel, tenk på Heavisides "trinn": verdien er null til venstre for gapet og en til høyre. Denne funksjonen beskriver den elektriske strømmens avhengighet av tidsvariabelen når kretsen er lukket. Samtidige med teorien på den tiden hadde aldri vært borti slikeen situasjon der det diskontinuerlige uttrykket vil bli beskrevet av en kombinasjon av kontinuerlige, ordinære funksjoner, som eksponentiell, sinusformet, lineær eller kvadratisk.
Hva forvirret franske matematikere i Fourier-teorien?
Tross alt, hvis matematikeren hadde rett i sine utsagn, og oppsummerer den uendelige trigonometriske Fourier-serien, kan du få en nøyaktig representasjon av trinnuttrykket selv om det har mange like trinn. På begynnelsen av det nittende århundre virket en slik uttalelse absurd. Men til tross for all tvil, har mange matematikere utvidet omfanget av studiet av dette fenomenet, og tatt det utover omfanget av studier av termisk ledningsevne. Imidlertid fortsatte de fleste forskere å bekymre seg over spørsmålet: "Kan summen av en sinusformet serie konvergere til den nøyaktige verdien av en diskontinuerlig funksjon?"
Convergence of Fourier-serier: eksempel
Spørsmålet om konvergens reises når det er nødvendig å summere uendelige tallrekker. For å forstå dette fenomenet, vurder et klassisk eksempel. Kan du noen gang nå veggen hvis hvert påfølgende trinn er halvparten så stort som det forrige? Tenk deg at du er to meter fra målet, det første trinnet bringer deg nærmere halvveispunktet, det neste til trekvartmerket, og etter det femte vil du dekke nesten 97 prosent av veien. Men uansett hvor mange skritt du tar, vil du ikke oppnå det tiltenkte målet i en streng matematisk forstand. Ved hjelp av numeriske beregninger kan man bevise at man til slutt kan komme så nær man vil.liten spesifisert avstand. Dette beviset tilsvarer å demonstrere at sumverdien av en halv, en fjerdedel osv. vil ha en tendens til en.
Spørsmål om konvergens: The Second Coming, or Lord Kelvin's Appliance
Gjentatte ganger ble dette spørsmålet reist på slutten av det nittende århundre, da Fourier-serier ble forsøkt brukt til å forutsi intensiteten av flo og fjære. På dette tidspunktet oppfant Lord Kelvin en enhet, som er en analog dataenhet som tillot sjømenn fra militær- og handelsflåten å spore dette naturfenomenet. Denne mekanismen bestemte settene med faser og amplituder fra en tabell over tidevannshøyder og deres tilsvarende tidsmomenter, nøye målt i en gitt havn i løpet av året. Hver parameter var en sinusformet komponent av tidevannshøydeuttrykket og var en av de vanlige komponentene. Resultatene av målingene ble lagt inn i Lord Kelvins kalkulator, som syntetiserte en kurve som spådde høyden på vannet som en funksjon av tiden for det neste året. Svært snart ble det tegnet opp lignende kurver for alle verdens havner.
Og hvis prosessen brytes av en diskontinuerlig funksjon?
På den tiden virket det åpenbart at en flodbølgeprediktor med et stort antall tellende elementer kunne beregne et stort antall faser og amplituder og dermed gi mer nøyaktige prediksjoner. Likevel viste det seg at denne regelmessigheten ikke er observert i tilfeller hvor tidevannsuttrykket, som følgersyntetisere, inneholdt et skarpt hopp, det vil si at det var diskontinuerlig. I tilfelle data legges inn i enheten fra tabellen over tidsøyeblikk, beregner den flere Fourier-koeffisienter. Den opprinnelige funksjonen gjenopprettes takket være de sinusformede komponentene (i henhold til de funnet koeffisientene). Avviket mellom det opprinnelige og det gjenopprettede uttrykket kan måles når som helst. Ved gjentatte beregninger og sammenligninger kan man se at verdien av den største feilen ikke synker. Imidlertid er de lokalisert i regionen som tilsvarer diskontinuitetspunktet, og har en tendens til null på et hvilket som helst annet punkt. I 1899 ble dette resultatet teoretisk bekreftet av Joshua Willard Gibbs fra Yale University.
Konvergens av Fourier-serier og utviklingen av matematikk generelt
Fourier-analyse kan ikke brukes på uttrykk som inneholder et uendelig antall serier i et bestemt intervall. Generelt konvergerer Fourier-serier, hvis den opprinnelige funksjonen er resultatet av en reell fysisk måling, alltid. Spørsmål om konvergensen av denne prosessen for spesifikke klasser av funksjoner har ført til fremveksten av nye seksjoner i matematikk, for eksempel teorien om generaliserte funksjoner. Det er assosiert med navn som L. Schwartz, J. Mikusinsky og J. Temple. Innenfor rammen av denne teorien ble det skapt et klart og presist teoretisk grunnlag for slike uttrykk som Dirac delta-funksjonen (den beskriver et område av et enkelt område konsentrert i et uendelig lite nabolag av et punkt) og Heaviside " steg". Takket være dette arbeidet ble Fourier-serien anvendelig forløse likninger og problemer som involverer intuitive konsepter: punktladning, punktmasse, magnetiske dipoler, samt en konsentrert belastning på en stråle.
Fourier-metode
Fourier-serien, i samsvar med prinsippene for interferens, begynner med dekomponering av komplekse former til enklere. For eksempel forklares en endring i varmestrømmen ved at den passerer gjennom forskjellige hindringer laget av uregelmessig formet varmeisolerende materiale eller en endring i jordoverflaten - et jordskjelv, en endring i bane til et himmellegeme - påvirkningen av planeter. Som regel løses lignende ligninger som beskriver enkle klassiske systemer elementært for hver enkelt bølge. Fourier viste at enkle løsninger også kan summeres for å gi løsninger på mer komplekse problemer. På matematikkspråket er Fourier-serien en teknikk for å representere et uttrykk som en sum av harmoniske - cosinus og sinusoider. Derfor er denne analysen også kjent som "harmonisk analyse".
Fourier-serien - den ideelle teknikken før "dataalderen"
Før opprettelsen av datateknologi var Fourier-teknikken det beste våpenet i arsenalet av forskere når de arbeidet med bølgenaturen i vår verden. Fourier-serien i en kompleks form tillater å løse ikke bare enkle problemer som direkte kan brukes på lovene til Newtons mekanikk, men også grunnleggende ligninger. De fleste oppdagelsene av Newtonsk vitenskap på det nittende århundre ble bare muliggjort av Fouriers teknikk.
Fourier-serien i dag
Med utviklingen av Fourier-transformatorerhevet til et helt nytt nivå. Denne teknikken er godt forankret i nesten alle områder av vitenskap og teknologi. Et eksempel er et digit alt lyd- og videosignal. Realiseringen ble mulig bare takket være teorien utviklet av en fransk matematiker på begynnelsen av det nittende århundre. Dermed gjorde Fourier-serien i en kompleks form det mulig å få et gjennombrudd i studiet av det ytre rom. I tillegg påvirket det studiet av fysikken til halvledermaterialer og plasma, mikrobølgeakustikk, oseanografi, radar, seismologi.
Trigonometrisk Fourier-serie
I matematikk er en Fourier-serie en måte å representere vilkårlige komplekse funksjoner som en sum av enklere. I generelle tilfeller kan antallet slike uttrykk være uendelig. Dessuten, jo mer antallet deres tas med i beregningen, desto mer nøyaktig er det endelige resultatet. Oftest brukes de trigonometriske funksjonene til cosinus eller sinus som de enkleste. I dette tilfellet kalles Fourier-serien trigonometrisk, og løsningen av slike uttrykk kalles utvidelsen av den harmoniske. Denne metoden spiller en viktig rolle i matematikk. Først av alt gir den trigonometriske serien et middel for bildet, så vel som studiet av funksjoner, det er teoriens hovedapparat. I tillegg tillater det å løse en rekke problemer innen matematisk fysikk. Til slutt bidro denne teorien til utviklingen av matematisk analyse, ga opphav til en rekke svært viktige deler av matematisk vitenskap (teorien om integraler, teorien om periodiske funksjoner). I tillegg fungerte det som et utgangspunkt for utviklingen av følgende teorier: sett, funksjonerreell variabel, funksjonell analyse, og la også grunnlaget for harmonisk analyse.
