For mange mennesker er matematisk analyse bare et sett med uforståelige tall, ikoner og definisjoner som er langt fra det virkelige liv. Imidlertid er verden vi eksisterer i bygget på numeriske mønstre, identifiseringen av dem hjelper ikke bare å lære om verden rundt oss og løse dens komplekse problemer, men også å forenkle hverdagens praktiske oppgaver. Hva mener en matematiker når han sier at en tallsekvens konvergerer? Dette bør diskuteres mer detaljert.
Hva er en uendelig liten?
La oss forestille oss matryoshka-dukker som passer inn i den andre. Størrelsene deres, skrevet i form av tall, starter med den største og slutter med den minste av dem, danner en sekvens. Hvis du forestiller deg et uendelig antall slike lyse figurer, vil den resulterende raden være fantastisk lang. Dette er en konvergent tallsekvens. Og det har en tendens til null, siden størrelsen på hver påfølgende hekkende dukke, katastrof alt avtagende, gradvis blir til ingenting. Så det er enkeltkan forklares: hva er uendelig.
Et lignende eksempel ville være en vei som fører til det fjerne. Og de visuelle dimensjonene til bilen som kjører bort fra observatøren langs den, gradvis krympende, blir til en formløs flekk som ligner en prikk. Dermed blir maskinen, som en gjenstand, som beveger seg bort i en ukjent retning, uendelig liten. Parametrene til den spesifiserte kroppen vil aldri være null i ordets bokstavelige betydning, men har alltid en tendens til denne verdien i den endelige grensen. Derfor konvergerer denne sekvensen igjen til null.
Beregn alt dråpe for dråpe
La oss forestille oss en verdslig situasjon nå. Legen foreskrev pasienten å ta medisinen, og begynte med ti dråper om dagen og tilsatte to hver neste dag. Og så legen foreslo å fortsette til innholdet i hetteglasset med medisin, hvis volum er 190 dråper, går tom. Det følger av det foregående at antallet slike, planlagt etter dag, vil være følgende nummerserier: 10, 12, 14 og så videre.
Hvordan finne ut tidspunktet for å fullføre hele kurset og antall medlemmer av sekvensen? Her kan man selvsagt telle dråper på en primitiv måte. Men det er mye lettere, gitt mønsteret, å bruke formelen for summen av en aritmetisk progresjon med et trinn d=2. Og ved å bruke denne metoden finner du ut at antallet medlemmer av tallserien er 10. I dette tilfellet, a10=28. Penisnummeret angir antall dager med medisinen, og 28 tilsvarer antall dråper pasienten skalbruk den siste dagen. Konvergerer denne sekvensen? Nei, for til tross for at den er begrenset til 10 nedenfra og 28 ovenfra, har en slik tallserie ingen grense, i motsetning til de tidligere eksemplene.
Hva er forskjellen?
La oss nå prøve å klargjøre: når tallserien viser seg å være en konvergent sekvens. En definisjon av denne typen, som kan konkluderes fra det ovenstående, er direkte relatert til begrepet en begrenset grense, hvis tilstedeværelse avslører essensen av problemet. Så hva er den grunnleggende forskjellen mellom de tidligere gitte eksemplene? Og hvorfor i den siste av dem kan ikke tallet 28 betraktes som grensen for nummerserien X =10 + 2(n-1)?
For å avklare dette spørsmålet, vurder en annen sekvens gitt av formelen nedenfor, der n tilhører settet med naturlige tall.
Dette fellesskapet av medlemmer er et sett med vanlige brøker, hvor telleren er 1, og nevneren øker stadig: 1, ½ …
Dessuten nærmer hver påfølgende representant for denne serien seg 0 mer og mer når det gjelder plassering på tallinjen. Og dette betyr at et slikt nabolag dukker opp der punktene klynger seg rundt null, som er grensen. Og jo nærmere de er det, jo tettere blir konsentrasjonen deres på tallinjen. Og avstanden mellom dem er katastrof alt redusert, og blir til en uendelig liten. Dette er et tegn på at sekvensen konvergerer.
LignendeDermed er de flerfargede rektanglene vist i figuren, når de beveger seg bort i rommet, visuelt mer overfylte, i den hypotetiske grensen blir til ubetydelig.
Uendelig store sekvenser
Etter å ha analysert definisjonen av en konvergent sekvens, la oss gå videre til moteksempler. Mange av dem har vært kjent for mennesket siden antikken. De enkleste variantene av divergerende sekvenser er rekken av naturlige og partall. De kalles uendelig store på en annen måte, siden medlemmene deres, stadig økende, i økende grad nærmer seg positiv uendelighet.
Et eksempel på slikt kan også være hvilken som helst av de aritmetiske og geometriske progresjonene med henholdsvis trinn og nevner større enn null. I tillegg regnes numeriske serier som divergerende sekvenser, som ikke har en grense i det hele tatt. For eksempel, X =(-2) -1.
Fibonacci-sekvens
De praktiske fordelene med den tidligere nevnte nummerserien for menneskeheten er ubestridelig. Men det finnes utallige andre gode eksempler. En av dem er Fibonacci-sekvensen. Hvert av medlemmene, som begynner med ett, er summen av de foregående. De to første representantene er 1 og 1. Den tredje 1+1=2, den fjerde 1+2=3, den femte 2+3=5. Videre, i henhold til samme logikk, følger tallene 8, 13, 21 og så videre.
Denne tallserien øker i det uendelige og har ingenendelig grense. Men den har en annen fantastisk eiendom. Forholdet mellom hvert forrige tall og det neste blir nærmere og nærmere i sin verdi til 0, 618. Her kan du forstå forskjellen mellom en konvergent og divergerende sekvens, fordi hvis du lager en serie mottatte partielle divisjoner, vil det angitte numeriske systemet ha en endelig grense lik 0,618.
Sekvens av Fibonacci-forhold
Nummerserien angitt ovenfor er mye brukt til praktiske formål for teknisk analyse av markeder. Men dette er ikke begrenset til dens evner, som egypterne og grekerne kjente til og var i stand til å sette ut i livet i antikken. Dette bevises av pyramidene de bygde og Parthenon. Tross alt er tallet 0,618 en konstant koeffisient av det gylne snitt, velkjent i gamle dager. I henhold til denne regelen kan et hvilket som helst vilkårlig segment deles slik at forholdet mellom delene vil falle sammen med forholdet mellom det største av segmentene og den totale lengden.
La oss konstruere en serie av de angitte relasjonene og prøve å analysere denne sekvensen. Nummerserien blir som følger: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0, 619 og så videre. Hvis vi fortsetter på denne måten, kan vi forsikre oss om at grensen for den konvergerende sekvensen faktisk vil være 0,618. Det er imidlertid nødvendig å merke seg andre egenskaper ved denne regulariteten. Her ser tallene ut til å gå tilfeldig, og slett ikke i stigende eller synkende rekkefølge. Dette betyr at denne konvergerende sekvensen ikke er monoton. Hvorfor det er slik vil bli diskutert videre.
Monotonisitet og begrensning
Medlemmer av nummerserien kan klart reduseres med økende antall (hvis x1>x2>x3>…>x >…) eller økende (hvis x1<x2<x3<…<x <…). I dette tilfellet sies sekvensen å være strengt monoton. Andre mønstre kan også observeres, der de numeriske seriene vil være ikke-minkende og ikke-økende (x1≧x2≧x 3≧ …≧x ≧… eller x1≦x2≦x 3 ≦…≦x ≦…), så er den suksessivt konvergerende også monoton, bare ikke i streng forstand. Et godt eksempel på det første av disse alternativene er tallserien gitt av følgende formel.
Etter å ha m alt tallene til denne serien, kan du se at noen av medlemmene, som på ubestemt tid nærmer seg 1, aldri vil overstige denne verdien. I dette tilfellet sies den konvergerende sekvensen å være avgrenset. Dette skjer når det er et slikt positivt tall M, som alltid er større enn noen av termene i serien modulo. Hvis en tallserie har tegn på monotonitet og har en grense, og derfor konvergerer, så er den nødvendigvis utstyrt med en slik egenskap. Og det motsatte trenger ikke være sant. Dette er bevist av boundedness-teoremet for en konvergent sekvens.
Anvendelsen av slike observasjoner i praksis er svært nyttig. La oss gi et spesifikt eksempel ved å undersøke egenskapene til sekvensen X =n/n+1, og bevis dens konvergens. Det er lett å vise at det er monotont, siden (x +1 – x) er et positivt tall for alle n-verdier. Rekkefølgens grense er lik tallet 1, noe som betyr at alle betingelsene i teoremet ovenfor, også k alt Weierstrass-teoremet, er oppfylt. Teoremet om avgrensningen til en konvergent sekvens sier at hvis den har en grense, så viser den seg i alle fall å være avgrenset. La oss imidlertid ta følgende eksempel. Tallserien X =(-1) er avgrenset nedenfra av -1 og ovenfra av 1. Men denne sekvensen er ikke monoton, har ingen grense, og konvergerer derfor ikke. Det vil si at eksistensen av en grense og konvergens ikke alltid følger av begrensning. For at dette skal fungere, må nedre og øvre grenser samsvare, som i tilfellet med Fibonacci-forhold.
Universets tall og lover
De enkleste variantene av en konvergent og divergerende sekvens er kanskje den numeriske rekken X =n og X =1/n. Den første av dem er en naturlig serie med tall. Den er, som allerede nevnt, uendelig stor. Den andre konvergerende sekvensen er avgrenset, og dens vilkår er nær uendelig i størrelsesorden. Hver av disse formlene personifiserer en av sidene av det mangefasetterte universet, og hjelper en person til å forestille seg og beregne noe ukjent, utilgjengelig for begrenset oppfatning på språket med tall og tegn.
Universets lover, som strekker seg fra ubetydelige til utrolig store, uttrykker også det gylne snitt på 0,618.de tror at det er grunnlaget for tingenes essens og brukes av naturen til å danne delene. Forholdet mellom de neste og de forrige medlemmene av Fibonacci-serien, som vi allerede har nevnt, fullfører ikke demonstrasjonen av de fantastiske egenskapene til denne unike serien. Hvis vi tar i betraktning kvotienten ved å dele det forrige leddet med det neste til ett, så får vi en serie på 0,5; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0, 382 og så videre. Det er interessant at denne begrensede sekvensen konvergerer, den er ikke ensformig, men forholdet mellom nabotallenes ytterpunkt fra et bestemt medlem er alltid omtrent lik 0,382, som også kan brukes i arkitektur, teknisk analyse og andre bransjer.
Det er andre interessante koeffisienter i Fibonacci-serien, de spiller alle en spesiell rolle i naturen, og brukes også av mennesker til praktiske formål. Matematikere er sikre på at universet utvikler seg i henhold til en viss "gyllen spiral", dannet fra de angitte koeffisientene. Med deres hjelp er det mulig å beregne mange fenomener som forekommer på jorden og i verdensrommet, alt fra veksten i antall visse bakterier til bevegelsen av fjerne kometer. Det viser seg at DNA-koden følger lignende lover.
Fallende geometrisk progresjon
Det er et teorem som hevder det unike ved grensen til en konvergent sekvens. Dette betyr at den ikke kan ha to eller flere grenser, noe som utvilsomt er viktig for å finne dens matematiske egenskaper.
La oss se på noensaker. Enhver numerisk serie sammensatt av medlemmer av en aritmetisk progresjon er divergerende, bortsett fra tilfellet med et nulltrinn. Det samme gjelder for en geometrisk progresjon, hvis nevner er større enn 1. Grensene for slike numeriske serier er "pluss" eller "minus" til uendelig. Hvis nevneren er mindre enn -1, er det ingen grense i det hele tatt. Andre alternativer er mulige.
Tenk på tallserien gitt av formelen X =(1/4) -1. Ved første øyekast er det lett å se at denne konvergerende sekvensen er begrenset fordi den er strengt avtagende og på ingen måte i stand til å ta negative verdier.
La oss skrive et antall av medlemmene på rad.
Det vil vise seg: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0, 00390625 og så videre. Ganske enkle beregninger er nok til å forstå hvor raskt denne geometriske progresjonen avtar fra nevnerne 0<q<1. Mens nevneren til begrepene øker i det uendelige, blir de selv uendelig små. Dette betyr at grensen for tallserien er 0. Dette eksemplet viser nok en gang den begrensede naturen til den konvergerende sekvensen.
Fundamental sekvenser
Augustin Louis Cauchy, en fransk vitenskapsmann, avslørte for verden mange arbeider relatert til matematisk analyse. Han ga definisjoner til slike begreper som differensial, integral, grense og kontinuitet. Han studerte også de grunnleggende egenskapene til konvergerende sekvenser. For å forstå essensen av ideene hans,noen viktige detaljer må oppsummeres.
Helt i begynnelsen av artikkelen ble det vist at det er slike sekvenser som det er et nabolag for hvor punktene som representerer medlemmene av en bestemt serie på den virkelige linjen begynner å klynge seg sammen, og stille seg mer og mer på linje. tett. Samtidig reduseres avstanden mellom dem etter hvert som antallet neste representant øker, og blir til en uendelig liten. Dermed viser det seg at i et gitt nabolag er et uendelig antall representanter for en gitt serie gruppert, mens det utenfor den er et endelig antall av dem. Slike sekvenser kalles fundamentale.
Det berømte Cauchy-kriteriet, laget av en fransk matematiker, indikerer tydelig at tilstedeværelsen av en slik egenskap er tilstrekkelig til å bevise at sekvensen konvergerer. Det motsatte er også sant.
Det skal bemerkes at denne konklusjonen til den franske matematikeren for det meste er av rent teoretisk interesse. Dens anvendelse i praksis anses å være en ganske komplisert sak, derfor, for å avklare konvergensen av serier, er det mye viktigere å bevise eksistensen av en endelig grense for en sekvens. Ellers regnes det som divergerende.
Når man løser problemer, bør man også ta hensyn til de grunnleggende egenskapene til konvergerende sekvenser. De vises nedenfor.
uendelige summer
Slike kjente vitenskapsmenn fra antikken som Arkimedes, Euklid, Eudoxus brukte summene av uendelige tallserier for å beregne lengdene på kurver, volumer av kropperog områder av figurer. Spesielt på denne måten var det mulig å finne ut området til det parabolske segmentet. Til dette ble summen av den numeriske rekken av en geometrisk progresjon med q=1/4 brukt. Volumene og arealene til andre vilkårlige figurer ble funnet på lignende måte. Dette alternativet ble k alt "utmattelsesmetoden". Tanken var at den studerte kroppen, kompleks i form, ble brutt opp i deler, som var figurer med lett målte parametere. Av denne grunn var det ikke vanskelig å beregne arealer og volumer, og så la de sammen.
Forresten, lignende oppgaver er veldig kjent for moderne skoleelever og finnes i USE-oppgaver. Den unike metoden, funnet av fjerne forfedre, er den desidert enkleste løsningen. Selv om det bare er to eller tre deler som den numeriske figuren er delt inn i, er addisjonen av deres arealer fortsatt summen av tallserien.
Mye senere enn de antikke greske forskerne Leibniz og Newton, basert på erfaringene fra deres kloke forgjengere, lærte mønstrene for integralberegning. Kunnskap om egenskapene til sekvenser hjalp dem med å løse differensial- og algebraiske ligninger. For tiden gir serieteorien, skapt av innsatsen fra mange generasjoner av talentfulle forskere, en sjanse til å løse et stort antall matematiske og praktiske problemer. Og studiet av numeriske sekvenser har vært hovedproblemet løst ved matematisk analyse siden starten.
