Flyligninger. Vinkel mellom to plan

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sist endret: 2024-01-02 17:53

Et plan, sammen med et punkt og en rett linje, er et grunnleggende geometrisk element. Med bruken bygges mange figurer innen romlig geometri. I denne artikkelen vil vi se nærmere på spørsmålet om hvordan man finner en vinkel mellom to plan.

konsept

Før du snakker om vinkelen mellom to plan, bør du forstå godt hvilket element i geometri vi snakker om. La oss forstå terminologien. Et fly er en endeløs samling av punkter i rommet, som forbinder som vi får vektorer. Sistnevnte vil være vinkelrett på en vektor. Det kalles vanligvis normalen til flyet.

Figuren over viser et plan og to normalvektorer til det. Det kan sees at begge vektorene ligger på samme rette linje. Vinkelen mellom dem er 180o.

Equations

Vinkelen mellom to plan kan bestemmes hvis den matematiske ligningen til det betraktede geometriske elementet er kjent. Det finnes flere typer slike ligninger,hvis navn er oppført nedenfor:

• generell type;
• vektor;
• i segmenter.

Disse tre typene er de mest praktiske for å løse ulike typer problemer, så de brukes oftest.

En generell typeligning ser slik ut:

Ax + By + Cz + D=0.

Her er x, y, z koordinatene til et vilkårlig punkt som tilhører det gitte planet. Parameterne A, B, C og D er tall. Det praktiske med denne notasjonen ligger i det faktum at tallene A, B, C er koordinatene til en vektor normal på planet.

Vektorformen til flyet kan representeres som følger:

x, y, z)=(x₀, y₀, z₀) + α(a₁, b₁, c₁) + β(a ₂, b₂, c_2).

Here (a₂, b₂, c₂) og (a_{) 1}, b₁, c₁) - parametere for to koordinatvektorer som tilhører det betraktede planet. Punktet (x₀, y₀, z_{0) ligger også i dette planet. Parametrene α og β kan ha uavhengige og vilkårlige verdier.}

Til slutt er ligningen til planet i segmenter representert i følgende matematiske form:

x/p + y/q + z/l=1.

Her er p, q, l spesifikke tall (inkludert negative). Denne typen ligning er nyttig når det er nødvendig å avbilde et plan i et rektangulært koordinatsystem, siden tallene p, q, l viser skjæringspunktene med x-, y- og z-aksenefly.

Merk at hver type ligning kan konverteres til en hvilken som helst annen ved hjelp av enkle matematiske operasjoner.

Formel for vinkelen mellom to plan

Vurder nå følgende nyanse. I tredimensjon alt rom kan to plan lokaliseres på bare to måter. Enten skjære eller være parallelle. Mellom to plan er vinkelen det som er plassert mellom deres ledevektorer (normal). Skjærende, 2 vektorer danner 2 vinkler (akutt og stump i det generelle tilfellet). Vinkelen mellom planene anses å være spiss. Tenk på ligningen.

Formelen for vinkelen mellom to plan er:

θ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|)).

Det er lett å gjette at dette uttrykket er en direkte konsekvens av skalarproduktet til normalvektorene n₁¯ og n₂ ¯ for de betraktede flyene. Modulen til punktproduktet i telleren indikerer at vinkelen θ kun vil ta verdier fra 0^o til 90^{o. Produktet av moduler til normalvektorer i nevneren betyr produktet av lengdene deres.}

Merk, hvis (n₁¯n_{2¯)=0, så krysser planene i rett vinkel.}

Eksempelproblem

Etter å ha funnet ut hva som kalles vinkelen mellom to plan, skal vi løse følgende problem. Som et eksempel. Så det er nødvendig å beregne vinkelen mellom slike plan:

2x - 3y + 4=0;

(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3).

For å løse problemet må du kjenne retningsvektorene til flyene. For det første planet er normalvektoren: n₁¯=(2, -3, 0). For å finne den andre plannormalvektoren bør man multiplisere vektorene etter parametrene α og β. Resultatet er en vektor: n_{2¯=(5, -3, 2).}

For å bestemme vinkelen θ bruker vi formelen fra forrige avsnitt. Vi får:

θ=arccos (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=

=arccos (19/√(1338))=0,5455 rad.

Den beregnede vinkelen i radianer tilsvarer 31,26^o. Dermed skjærer planene fra problemets tilstand i en vinkel på 31, 26^o.