Linje og plan er de to viktigste geometriske elementene som kan brukes til å konstruere forskjellige former i 2D- og 3D-rom. Vurder hvordan du finner avstanden mellom parallelle linjer og parallelle plan.
Matteoppgave rett linje
Fra skolegeometrikurset er det kjent at i et todimensjon alt rektangulært koordinatsystem kan en linje spesifiseres i følgende form:
y=kx + b.
Hvor k og b er tall (parametere). Den skrevne formen for å representere en linje i et plan er et plan som er parallelt med z-aksen i tredimensjon alt rom. I lys av dette, i denne artikkelen, for den matematiske tildelingen av en rett linje, vil vi bruke en mer praktisk og universell form - en vektor.
Anta at linjen vår er parallell med en eller annen vektor u¯(a, b, c) og går gjennom punktet P(x0, y0, z0). I dette tilfellet, i vektorform, vil ligningen representeres som følger:
(x, y, z)=(x0, y 0, z0) + λ(a, b, c).
Her er λ et hvilket som helst tall. Hvis vi eksplisitt representerer koordinatene ved å utvide det skriftlige uttrykket, vil vi få en parametrisk form for å skrive en rett linje.
Det er praktisk å jobbe med en vektorligning når man løser ulike oppgaver der det er nødvendig å bestemme avstanden mellom parallelle linjer.
Linjer og avstanden mellom dem
Det er fornuftig å snakke om avstanden mellom linjer bare når de er parallelle (i det tredimensjonale tilfellet er det også en avstand som ikke er null mellom skjeve linjer). Hvis linjene krysser hverandre, er det åpenbart at de er på null avstand fra hverandre.
Avstanden mellom parallelle linjer er lengden på perpendikulæren som forbinder dem. For å bestemme denne indikatoren er det nok å velge et vilkårlig punkt på en av linjene og slippe en vinkelrett fra den til en annen.
La oss kort beskrive fremgangsmåten for å finne ønsket avstand. Anta at vi kjenner vektorligningene til to linjer, som presenteres i følgende generelle form:
(x, y, z)=P + λu¯;
(x, y, z)=Q + βv¯.
Konstruer et parallellogram på disse linjene slik at en av sidene er PQ, og den andre, for eksempel, u. Høyden på denne figuren, trukket fra punktet P, er åpenbart lengden på den nødvendige perpendikulæren. For å finne det, kan du bruke følgende enkeltformel:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Siden avstanden mellom rette linjer er lengden av det perpendikulære segmentet mellom dem, er det i henhold til det skriftlige uttrykket nok å finne modulen til vektorproduktet til PQ¯ og u¯ og dele resultatet med lengden på vektoren u¯.
Et eksempel på en oppgave for å bestemme avstanden mellom rette linjer
To rette linjer er gitt av følgende vektorligninger:
(x, y, z)=(2, 3, -1) + λ(-2, 1, 3);
(x, y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3).
Fra de skriftlige uttrykkene er det tydelig at vi har to parallelle linjer. Faktisk, hvis vi multipliserer med -1 koordinatene til retningsvektoren til den første linjen, får vi koordinatene til retningsvektoren til den andre linjen, som indikerer deres parallellitet.
Avstanden mellom rette linjer vil bli beregnet ved hjelp av formelen skrevet i forrige avsnitt av artikkelen. Vi har:
P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);
u¯=(-2, 1, 3).
Så får vi:
|u¯|=√14cm;
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=√(90/14)=2,535 cm.
Merk at i stedet for punktene P og Q, kan absolutt alle punkter som tilhører disse linjene brukes til å løse problemet. I dette tilfellet vil vi få samme avstand d.
Angi et plan i geometri
Spørsmålet om avstanden mellom linjene ble diskutert i detalj ovenfor. La oss nå vise hvordan du finner avstanden mellom parallelle plan.
Alle representerer hva et fly er. I følge den matematiske definisjonen er det spesifiserte geometriske elementet en samling av punkter. Dessuten, hvis du komponerer alle mulige vektorer ved å bruke disse punktene, vil alle være vinkelrett på én enkelt vektor. Sistnevnte kalles vanligvis normalen til flyet.
For å spesifisere ligningen til et plan i tredimensjon alt rom, brukes den generelle formen til ligningen oftest. Det ser slik ut:
Ax + By + Cz + D=0.
Hvor store latinske bokstaver er noen tall. Det er praktisk å bruke denne typen planligning fordi koordinatene til normalvektoren er eksplisitt gitt i den. De er A, B, C.
Det er lett å se at to plan er parallelle bare når normalene deres er parallelle.
Hvordan finne avstanden mellom to parallelle plan ?
For å bestemme den angitte avstanden, bør du tydelig forstå hva som står på spill. Avstanden mellom plan som er parallelle med hverandre forstås som lengden av segmentet vinkelrett på dem. Endene av dette segmentet tilhører fly.
Algoritmen for å løse slike problemer er enkel. For å gjøre dette, må du finne koordinatene til absolutt ethvert punkt som hører til et av de to planene. Deretter bør du bruke denne formelen:
d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2).
Siden avstanden er en positiv verdi, er modultegnet i telleren. Den skriftlige formelen er universell, siden den lar deg beregne avstanden fra flyet til absolutt ethvert geometrisk element. Det er nok å kjenne koordinatene til ett punkt i dette elementet.
For fullstendighetens skyld merker vi at hvis normalene til to plan ikke er parallelle med hverandre, vil slike plan krysse hverandre. Avstanden mellom dem vil da være null.
Problemet med å bestemme avstanden mellom fly
Det er kjent at to plan er gitt av følgende uttrykk:
y/5 + x/(-3) + z/1=1;
-x + 3/5y + 3z – 2=0.
Det er nødvendig å bevise at flyene er parallelle, og også å bestemme avstanden mellom dem.
For å svare på den første delen av oppgaven, må du bringe den første ligningen til en generell form. Merk at den er gitt i den såk alte formen av en ligning i segmenter. Multipliser venstre og høyre del med 15 og flytt alle ledd til én side av ligningen, vi får:
-5x + 3y + 15z – 15=0.
La oss skrive ut koordinatene til to normalvektorer til planene:
1¯=(-5, 3, 15);
2¯=(-1, 3/5, 3).
Det kan sees at hvis n2¯ multipliseres med 5, så får vi nøyaktig koordinatene n1¯. Dermed er de vurderte flyeneparallell.
For å beregne avstanden mellom parallelle plan, velg et vilkårlig punkt av det første av dem og bruk formelen ovenfor. La oss for eksempel ta punktet (0, 0, 1) som tilhører det første planet. Da får vi:
d=|Ax0+ By0+ Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)=
=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0,31 cm.
Ønsket avstand er 31 mm.
Avstand mellom fly og linje
Den teoretiske kunnskapen som gis lar oss også løse problemet med å bestemme avstanden mellom en rett linje og et plan. Det er allerede nevnt ovenfor at formelen som er gyldig for beregninger mellom fly er universell. Den kan også brukes til å løse problemet. For å gjøre dette, velg et hvilket som helst punkt som tilhører den gitte linjen.
Hovedproblemet med å bestemme avstanden mellom de betraktede geometriske elementene er beviset på deres parallellitet (hvis ikke, så d=0). Parallellisme er lett å bevise hvis du beregner skalarproduktet av normalen og retningsvektoren for linjen. Hvis elementene som vurderes er parallelle, vil dette produktet være lik null.
