Et typisk geometrisk problem er å finne vinkelen mellom linjene. På et plan, hvis likningene til linjene er kjent, kan de tegnes og vinkelen måles med en gradskive. Imidlertid er denne metoden arbeidskrevende og ikke alltid mulig. For å finne ut den navngitte vinkelen, er det ikke nødvendig å tegne rette linjer, det kan beregnes. Denne artikkelen vil svare på hvordan dette gjøres.
En rett linje og dens vektorligning
Enhver rett linje kan representeres som en vektor som starter på -∞ og slutter på +∞. I dette tilfellet går vektoren gjennom et punkt i rommet. Dermed vil alle vektorer som kan tegnes mellom to punkter på en rett linje være parallelle med hverandre. Denne definisjonen lar deg sette ligningen til en rett linje i vektorform:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Her er vektoren med koordinater (a; b; c) guiden for denne linjen som går gjennom punktet (x0; y0; z0). Parameteren α lar deg overføre det angitte punktet til et hvilket som helst annet for denne linjen. Denne ligningen er intuitiv og enkel å jobbe med både i 3D-rom og på et fly. For et plan vil det ikke inneholde z-koordinatene og vektorkomponenten i tredje retning.
Bekvemmeligheten med å utføre beregninger og studere den relative posisjonen til rette linjer på grunn av bruken av en vektorligning, skyldes det faktum at dens retningsvektor er kjent. Koordinatene brukes til å beregne vinkelen mellom linjene og avstanden mellom dem.
Generell ligning for en rett linje på et plan
La oss skrive eksplisitt vektorligningen til den rette linjen for det todimensjonale tilfellet. Det ser ut som:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb
Nå beregner vi parameteren α for hver likhet og likestiller de riktige delene av de oppnådde likhetene:
α=(x - x0)/a;
α=(y - y0)/b;
(x - x0)/a=(y - y0)/b
Åpner parentesene og overfører alle vilkår til én side av likhet, får vi:
1/ax +(-1/b)y+y0/b- x0/a=0=>
Ax + By + C=0, hvor A=1/a, B=-1/b, C=y0/b- x 0/a
Det resulterende uttrykket kalles den generelle ligningen for en rett linje gitt i todimensjon alt rom (i tredimensjon alt tilsvarer denne ligningen et plan parallelt med z-aksen, ikke en rett linje).
Hvis vi eksplisitt skriver y til x i dette uttrykket, får vi følgende form, kjenthver elev:
y=kx + p, hvor k=-A/B, p=-C/B
Denne lineære ligningen definerer unikt en rett linje på planet. Det er veldig enkelt å tegne det i henhold til den velkjente ligningen, for dette bør du sette x=0 og y=0 etter tur, markere de tilsvarende punktene i koordinatsystemet og tegne en rett linje som forbinder de oppnådde punktene.
Formel for vinkelen mellom linjene
På et plan kan to linjer enten krysse eller være parallelle med hverandre. I rommet legges til disse alternativene muligheten for eksistensen av skjeve linjer. Uansett hvilken versjon av den relative posisjonen til disse endimensjonale geometriske objektene implementeres, kan vinkelen mellom dem alltid bestemmes av følgende formel:
φ=arccos(|(v1¯v2¯)|/(|v1 ¯||v2¯|))
Hvor v1¯ og v2¯ er guidevektorene for henholdsvis linje 1 og 2. Telleren er modulen til prikkproduktet for å utelukke stumpe vinkler og bare ta hensyn til skarpe vinkler.
Vektorene v1¯ og v2¯ kan gis av to eller tre koordinater, mens formelen for vinkelen φ forblir uendret.
Parallellisme og perpendikularitet av linjer
Hvis vinkelen mellom 2 linjer beregnet ved hjelp av formelen ovenfor er 0o, sies de å være parallelle. For å finne ut om linjene er parallelle eller ikke, kan du ikke beregne vinkelenφ, det er tilstrekkelig å vise at en retningsvektor kan representeres gjennom en lignende vektor på en annen linje, det vil si:
v1¯=qv2¯
Her er q et reelt tall.
Hvis linjelikningene er gitt som:
y=k1x + p1,
y=k2x + p2,
da vil de bare være parallelle når koeffisientene til x er like, det vil si:
k1=k2
Dette faktum kan bevises hvis vi vurderer hvordan koeffisienten k uttrykkes i form av koordinatene til retningsvektoren til den rette linjen.
Hvis skjæringsvinkelen mellom linjer er 90o, kalles de vinkelrett. For å bestemme perpendikulariteten til linjer er det heller ikke nødvendig å beregne vinkelen φ, for dette er det nok å beregne bare skalarproduktet til vektorene v1¯ og v 2¯. Den må være null.
I tilfelle av kryssende rette linjer i rommet, kan formelen for vinkelen φ også brukes. I dette tilfellet bør resultatet tolkes riktig. Den beregnede φ viser vinkelen mellom retningsvektorene til linjer som ikke skjærer hverandre og ikke er parallelle.
Oppgave 1. Vinkelrette linjer
Det er kjent at linjelikningene har formen:
(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);
(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)
Det er nødvendig å avgjøre om disse linjene ervinkelrett.
Som nevnt ovenfor, for å svare på spørsmålet, er det nok å beregne skalarproduktet av vektorene til guidene, som tilsvarer koordinatene (1; 2) og (-4; 2). Vi har:
(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0
Siden vi fikk 0, betyr dette at de betraktede linjene skjærer hverandre i rett vinkel, det vil si at de er vinkelrette.
Oppgave 2. Linjekryssvinkel
Det er kjent at to ligninger for rette linjer har følgende form:
y=2x - 1;
y=-x + 3
Det er nødvendig å finne vinkelen mellom linjene.
Siden koeffisientene til x har forskjellige verdier, er ikke disse linjene parallelle. For å finne vinkelen som dannes når de skjærer hverandre, oversetter vi hver av likningene til en vektorform.
For den første linjen får vi:
(x; y)=(x; 2x - 1)
På høyre side av ligningen fikk vi en vektor hvis koordinater avhenger av x. La oss representere det som en sum av to vektorer, og koordinatene til den første vil inneholde variabelen x, og koordinatene til den andre vil utelukkende bestå av tall:
(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)
Siden x tar vilkårlige verdier, kan den erstattes av parameteren α. Vektorligningen for den første linjen blir:
(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)
Vi gjør de samme handlingene med den andre ligningen på linjen, vi får:
(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>
(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)
Vi skrev om de opprinnelige ligningene i vektorform. Nå kan du bruke formelen for skjæringsvinkelen, og erstatte koordinatene til retningsvektorene til linjene i den:
(1; 2)(1; -1)=-1;
|(1; 2)|=√5;
|(1; -1)|=√2;
φ=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o
Dermed skjærer linjene som vurderes i en vinkel på 71,565o, eller 1,249 radianer.
Dette problemet kunne vært løst annerledes. For å gjøre dette var det nødvendig å ta to vilkårlige punkter av hver rett linje, komponere direkte vektorer fra dem, og deretter bruke formelen for φ.
