Regn ut vinkelen mellom en linje og et plan. Koordinere metode for å løse problemer

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sist endret: 2024-01-02 17:53

Et av de vanlige problemene innen stereometri er oppgavene med å krysse rette linjer og plan og beregne vinklene mellom dem. La oss i denne artikkelen se nærmere på den såk alte koordinatmetoden og vinklene mellom linjen og planet.

Linje og plan i geometri

Før du vurderer koordinatmetoden og vinkelen mellom en linje og et plan, bør du gjøre deg kjent med de navngitte geometriske objektene.

En linje er en slik samling av punkter i rommet eller på et plan, som hver kan oppnås ved å lineært overføre den forrige til en bestemt vektor. I det følgende betegner vi denne vektoren med symbolet u¯. Hvis denne vektoren multipliseres med et hvilket som helst tall som ikke er lik null, får vi en vektor parallell med u¯. En linje er et lineært uendelig objekt.

Et plan er også en samling av punkter som er plassert på en slik måte at hvis du lager vilkårlige vektorer fra dem, vil alle være vinkelrett på en eller annen vektor n¯. Sistnevnte kalles normal eller ganske enkelt normal. Et plan, i motsetning til en rett linje, er et todimensjon alt uendelig objekt.

Koordinatmetode for å løse geometriproblemer

Basert på navnet på selve metoden kan vi konkludere med at vi snakker om en metode for å løse problemer, som er basert på utførelse av analytiske sekvensberegninger. Med andre ord, koordinatmetoden lar deg løse geometriske problemer ved hjelp av universelle algebraverktøy, hvor de viktigste er ligninger.

Det skal bemerkes at metoden under vurdering dukket opp i begynnelsen av moderne geometri og algebra. Et stort bidrag til utviklingen ble gitt av Rene Descartes, Pierre de Fermat, Isaac Newton og Leibniz på 1600- og 1700-tallet.

Essensen av metoden er å beregne avstander, vinkler, arealer og volumer av geometriske elementer basert på koordinatene til kjente punkter. Merk at formen til de endelige ligningene som oppnås avhenger av koordinatsystemet. Oftest brukes det rektangulære kartesiske systemet i problemer, siden det er mest praktisk å jobbe med.

Linjeligning

Betraktning av koordinatmetoden og vinklene mellom linjen og planet, la oss starte med å sette likningen til linjen. Det er flere måter å representere linjer i algebraisk form. Her tar vi bare for oss vektorligningen, siden den lett kan hentes fra den i en hvilken som helst annen form og er lett å jobbe med.

Anta at det er to punkter: P og Q. Det er kjent at en linje kan trekkes gjennom dem, og detvil være den eneste. Den tilsvarende matematiske representasjonen av elementet ser slik ut:

(x, y, z)=P + λPQ¯.

Hvor PQ¯ er en vektor hvis koordinater oppnås som følger:

PQ¯=Q - P.

Symbolet λ angir en parameter som kan ta absolutt et hvilket som helst tall.

I det skriftlige uttrykket kan du endre retningen til vektoren, og også erstatte koordinatene Q i stedet for punktet P. Alle disse transformasjonene vil ikke føre til en endring i den geometriske plasseringen av linjen.

Merk at når du løser problemer, er det noen ganger nødvendig å representere den skrevne vektorligningen i en eksplisitt (parametrisk) form.

Setter et fly i verdensrommet

I tillegg til en rett linje, finnes det også flere former for matematiske ligninger for et plan. Blant dem noterer vi vektoren, ligningen i segmenter og den generelle formen. I denne artikkelen vil vi være spesielt oppmerksomme på det siste skjemaet.

En generell ligning for et vilkårlig plan kan skrives som følger:

Ax + By + Cz + D=0.

Latinske store bokstaver er visse tall som definerer et plan.

Det praktiske med denne notasjonen er at den eksplisitt inneholder en vektor normal til planet. Det er lik:

n¯=(A, B, C).

Å kjenne denne vektoren gjør det mulig, ved å se kort på likningen til planet, å forestille seg plasseringen til sistnevnte i koordinatsystemet.

Gjensidig ordning innlinjerom og fly

I neste avsnitt av artikkelen vil vi gå videre til vurderingen av koordinatmetoden og vinkelen mellom linjen og planet. Her vil vi svare på spørsmålet om hvordan de betraktede geometriske elementene kan plasseres i rommet. Det er tre måter:

Den rette linjen skjærer flyet. Ved å bruke koordinatmetoden kan du beregne på hvilket enkeltpunkt linjen og planet krysser hverandre.
Planet til en rett linje er parallelt. I dette tilfellet har likningssystemet for geometriske elementer ingen løsning. For å bevise parallellitet brukes vanligvis egenskapen til skalarproduktet til retningsvektoren til den rette linjen og normalen til planet.
Flyet inneholder en linje. Ved å løse ligningssystemet i dette tilfellet vil vi komme til den konklusjon at for enhver verdi av parameteren λ, oppnås den korrekte likheten.

I det andre og tredje tilfellet er vinkelen mellom de spesifiserte geometriske objektene lik null. I det første tilfellet ligger den mellom 0 og 90o.

Beregning av vinkler mellom linjer og plan

La oss nå gå direkte til emnet for artikkelen. Ethvert skjæring mellom en linje og et plan skjer i en vinkel. Denne vinkelen dannes av selve den rette linjen og dens projeksjon på planet. En projeksjon kan oppnås hvis fra et hvilket som helst punkt på en rett linje en perpendikulær senkes ned på planet, og deretter gjennom det oppnådde skjæringspunktet mellom planet og perpendikulæren og skjæringspunktet mellom planet og den opprinnelige linjen, tegne en rett linje som vil være en projeksjon.

Skjæringspunktet mellom et plan og en linje

Å beregne vinklene mellom linjer og plan er ikke en vanskelig oppgave. For å løse det er det nok å kjenne likningene til de tilsvarende geometriske objektene. La oss si at disse ligningene ser slik ut:

(x, y, z)=(x₀, y₀, z_{0) + λ(a, b, c);}

Ax + By + Cz + D=0.

Den ønskede vinkelen er lett å finne ved å bruke egenskapen til produktet til skalarvektorene u¯ og n¯. Den endelige formelen ser slik ut:

θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).

Denne formelen sier at sinusen til vinkelen mellom en linje og et plan er lik forholdet mellom modulen til skalarproduktet til de markerte vektorene og produktet av deres lengder. For å forstå hvorfor sinus dukket opp i stedet for cosinus, la oss gå til figuren nedenfor.

Det kan sees at hvis vi bruker cosinusfunksjonen, vil vi få vinkelen mellom vektorene u¯ og n¯. Ønsket vinkel θ (α i figuren) oppnås som følger:

θ=90o- β.

Sinus vises som et resultat av å bruke reduksjonsformlene.

Eksempelproblem

La oss gå videre til den praktiske bruken av den ervervede kunnskapen. La oss løse et typisk problem på vinkelen mellom en rett linje og et plan. Følgende koordinater av fire punkter er gitt:

P=(1, -1, 0);

Q=(-1, 2, 2);

M=(0, 3, -1);

N=(-2, -1, 1).

Det er kjent at gjennom poeng PQMet fly passerer gjennom det, og en rett linje går gjennom MN. Ved hjelp av koordinatmetoden skal vinkelen mellom planet og linjen beregnes.

La oss først skrive ned likningene til den rette linjen og planet. For en rett linje er det enkelt å komponere det:

MN¯=(-2, -4, 2)=>

(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2).

For å lage ligningen til planet, finner vi først normalen til det. Koordinatene er lik vektorproduktet av to vektorer som ligger i det gitte planet. Vi har:

PQ¯=(-2, 3, 2);

QM¯=(1, 1, -3)=>

n¯=[PQ¯QM¯]=(-11, -4, -5).

La oss nå erstatte koordinatene til et hvilket som helst punkt som ligger i det med ligningen til det generelle planet for å få verdien av det frie leddet D: