Vinkler mellom fly. Hvordan bestemme vinkelen mellom planene

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sist endret: 2024-01-02 17:53

Når man løser geometriske problemer i rommet, er det ofte de der det er nødvendig å beregne vinklene mellom ulike romlige objekter. I denne artikkelen vil vi vurdere spørsmålet om å finne vinkler mellom plan og mellom dem og en rett linje.

Line in space

Det er kjent at absolutt enhver rett linje i planet kan defineres av følgende likhet:

y=ax + b

Her er a og b noen tall. Hvis vi representerer en rett linje i rommet med samme uttrykk, får vi et plan parallelt med z-aksen. For den matematiske definisjonen av romlinjen brukes en annen løsningsmetode enn i det todimensjonale tilfellet. Den består i å bruke konseptet "retningsvektor".

Retningsvektoren til en rett linje viser orienteringen i rommet. Denne parameteren tilhører linjen. Siden det er et uendelig sett med vektorer parallelle i rommet, er det også nødvendig å kjenne koordinatene til punktet som tilhører det for å kunne bestemme det betraktede geometriske objektet unikt.

Anta at det er detpunkt P(x₀; y₀; z_{0) og retningsvektor v¯(a; b; c), så kan ligningen til en rett linje gis som følger:}

(x; y; z)=P + αv¯ eller

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + α(a; b; c)}

Dette uttrykket kalles den parametriske vektorligningen til en rett linje. Koeffisienten α er en parameter som kan ta absolutt alle reelle verdier. Koordinatene til en linje kan representeres eksplisitt ved å utvide denne likheten:

x=x_{0+ αa;}

y=y_{0+ αb;}

z=z_{0+ αc}

Flyets ligning

Det finnes flere former for å skrive en ligning for et fly i rommet. Her skal vi ta for oss en av dem, som oftest brukes ved beregning av vinklene mellom to plan eller mellom ett av dem og en rett linje.

Hvis noen vektor n¯(A; B; C) er kjent, som er vinkelrett på det ønskede planet, og punktet P(x₀; y ₀; z_{0), som tilhører den, så er den generelle ligningen for sistnevnte:}

Ax + By + Cz + D=0 hvor D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Vi har utelatt avledningen av dette uttrykket, som er ganske enkelt. Her legger vi bare merke til at, ved å kjenne koeffisientene til variablene i likningen til planet, kan man enkelt finne alle vektorene som er vinkelrett på det. Sistnevnte kalles normaler og brukes til å beregne vinklene mellom skrånende og planet og mellomvilkårlige analoger.

Plasseringen av flyene og formelen for vinkelen mellom dem

La oss si at det er to fly. Hva er alternativene for deres relative posisjon i rommet. Siden planet har to uendelige dimensjoner og en null, er bare to alternativer for deres gjensidige orientering mulig:

de vil være parallelle med hverandre;
de kan overlappe.

Vinkelen mellom planene er indeksen mellom retningsvektorene deres, dvs. mellom deres normaler n₁¯ og n_2¯.

Det er klart, hvis de er parallelle med planet, så er skjæringsvinkelen null mellom dem. Hvis de krysser hverandre, er den ikke null, men alltid skarp. Et spesielt tilfelle av skjæring vil være vinkelen 90o, når planene er gjensidig vinkelrett på hverandre.

Vinkelen α mellom n₁¯ og n_{2¯ er lett å bestemme ut fra skalarproduktet til disse vektorene. Det vil si at formelen finner sted:}

α=arccos((n₁¯n₂¯)/(|n_{1 ¯| |n}2_¯|))

Anta at koordinatene til disse vektorene er: n₁¯(a₁; b₁; c₁), n₂¯(a₂; b_{2; c}2_{). Deretter, ved å bruke formlene for å beregne skalarproduktet og moduler av vektorer gjennom deres koordinater, kan uttrykket ovenfor omskrives som:}

α=arccos(|a₁ a₂ + b₁ b ₂ +c₁ c₂| / (√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b ₂² + c₂²⁾⁾⁾

Modulen i telleren dukket opp fordi for å ekskludere verdiene til stumpe vinkler.

Eksempler på å løse problemer for å bestemme skjæringsvinkelen til plan

Når vi vet hvordan vi finner vinkelen mellom flyene, løser vi følgende problem. To plan er gitt, hvis likninger er:

3x + 4y - z + 3=0;

-x - 2y + 5z +1=0

Hva er vinkelen mellom planene?

For å svare på spørsmålet om oppgaven, la oss huske at koeffisientene til variablene i den generelle likningen til planet er koordinatene til ledevektoren. For de angitte flyene har vi følgende koordinater for deres normaler:

_{1¯(3; 4; -1);}
_{2¯(-1; -2; 5)}

Nå finner vi skalarproduktet til disse vektorene og deres moduler, vi har:

(n₁¯n_{2¯)=-3 -8 -5=-16;}

|n_{1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;}

|n_{2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30}

Nå kan du erstatte de funnet tallene i formelen gitt i forrige avsnitt. Vi får:

α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o

Den resulterende verdien tilsvarer en spiss skjæringsvinkel for planene spesifisert i betingelsenoppgaver.

Vurder nå et annet eksempel. Gitt to fly:

x + y -3=0;

3x + 3y + 8=0

Skjærer de hverandre? La oss skrive ut verdiene til koordinatene til retningsvektorene deres, beregne deres skalarprodukt og moduler:

_{1¯(1; 1; 0);}
_{2¯(3; 3; 0);}

(n₁¯n_{2¯)=3 + 3 + 0=6;}

|n_1¯|=√2;

|n_2¯|=√18

Da er skjæringsvinkelen:

α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.

Denne vinkelen indikerer at planene ikke krysser hverandre, men er parallelle. At de ikke matcher hverandre er lett å sjekke. La oss ta for dette et vilkårlig punkt som tilhører den første av dem, for eksempel P(0; 3; 2). Sett inn koordinatene i den andre ligningen, får vi:

30 +33 + 8=17 ≠ 0

Det vil si at punktet P bare tilhører det første planet.

Så to plan er parallelle når deres normale er.

Plan og rett linje

Når det gjelder å vurdere den relative posisjonen mellom et plan og en rett linje, er det flere alternativer enn med to plan. Dette faktum er forbundet med det faktum at den rette linjen er et endimensjon alt objekt. Linje og fly kan være:

gjensidig parallelt, i dette tilfellet krysser ikke flyet linjen;
sistnevnte kan tilhøre flyet, mens det også vil være parallelt med det;
begge objekter kankryss i en vinkel.

La oss vurdere det siste tilfellet først, siden det krever introduksjon av konseptet med skjæringsvinkelen.

Linje og plan, vinkelen mellom dem

Hvis en rett linje skjærer et plan, kalles det skrå i forhold til det. Skjæringspunktet kalles grunnen av skråningen. For å bestemme vinkelen mellom disse geometriske objektene, er det nødvendig å senke en rett vinkelrett på planet fra et hvilket som helst punkt. Deretter danner skjæringspunktet for perpendikulæren med planet og skjæringsstedet for den skrå linjen med den en rett linje. Sistnevnte kalles projeksjonen av den opprinnelige linjen på flyet som vurderes. Den spisse vinkelen mellom linjen og dens projeksjon er den nødvendige.

Noe forvirrende definisjon av vinkelen mellom et plan og en skrå vil tydeliggjøre figuren nedenfor.

Her er vinkelen ABO vinkelen mellom linjen AB og planet a.

For å skrive ned formelen for det, tenk på et eksempel. La det være en rett linje og et plan, som beskrives av ligningene:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c);}

Ax + Bx + Cx + D=0

Det er enkelt å beregne ønsket vinkel for disse objektene hvis du finner skalarproduktet mellom retningsvektorene til linjen og planet. Den resulterende spisse vinkelen skal trekkes fra 90o, så oppnås den mellom en rett linje og et plan.

Figuren over viser den beskrevne algoritmen for å finnebetraktet vinkel. Her er β vinkelen mellom normalen og linjen, og α er mellom linjen og dens projeksjon på planet. Det kan sees at summen deres er 90o.

Ovenfor ble det presentert en formel som svarer på spørsmålet om hvordan man finner en vinkel mellom plan. Nå gir vi det tilsvarende uttrykket for tilfellet med en rett linje og et plan:

α=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a ² + b² + c ²)√(A ² + B ² + C ²⁾⁾⁾

Modulen i formelen lar bare spisse vinkler beregnes. Arcsinusfunksjonen dukket opp i stedet for arccosinus på grunn av bruken av den tilsvarende reduksjonsformelen mellom trigonometriske funksjoner (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)).

Problem: Et fly skjærer en rett linje

La oss nå vise hvordan du arbeider med formelen ovenfor. La oss løse problemet: det er nødvendig å beregne vinkelen mellom y-aksen og planet gitt av ligningen:

y - z + 12=0

Dette flyet er vist på bildet.

Du kan se at den skjærer y- og z-aksene i henholdsvis punktene (0; -12; 0) og (0; 0; 12), og er parallell med x-aksen.

Retningsvektoren til linjen y har koordinater (0; 1; 0). En vektor vinkelrett på et gitt plan er karakterisert ved koordinater (0; 1; -1). Vi bruker formelen for skjæringsvinkelen til en rett linje og et plan, vi får:

α=arcsin(|1| / (√1√2))=arcsin(1 / √2)=45o

Problem: rett linje parallelt med flyet

La oss nå bestemme osslik det forrige problemet, spørsmålet om hvilket stilles annerledes. Ligningene til planet og den rette linjen er kjent:

x + y - z - 3=0;

(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)

Det er nødvendig å finne ut om disse geometriske objektene er parallelle med hverandre.

Vi har to vektorer: retningen til den rette linjen er (0; 2; 2) og retningen til planet er (1; 1; -1). Finn punktproduktet deres:

01 + 12 - 12=0

Den resulterende nullen indikerer at vinkelen mellom disse vektorene er 90o, som beviser at linjen og planet er parallelle.

La oss nå sjekke om denne linjen bare er parallell eller også ligger i flyet. For å gjøre dette, velg et vilkårlig punkt på linjen og kontroller om det tilhører flyet. La oss for eksempel ta λ=0, da hører punktet P(1; 0; 0) til linjen. Sett inn i ligningen til planet P:

1 - 3=-2 ≠ 0

Punkten P tilhører ikke flyet, noe som betyr at heller ikke hele linjen ligger i det.

Hvor er det viktig å vite vinklene mellom de betraktede geometriske objektene?

Ovennevnte formler og eksempler på problemløsning er ikke bare av teoretisk interesse. De brukes ofte til å bestemme viktige fysiske mengder av ekte tredimensjonale figurer, for eksempel prismer eller pyramider. Det er viktig å kunne bestemme vinkelen mellom planene når man beregner volumene til figurer og arealene på deres overflater. Dessuten, hvis det i tilfelle av et rett prisme er mulig å ikke bruke disse formlene for å bestemmespesifiserte verdier, så for enhver type pyramide er bruken uunngåelig.

Vurder et eksempel på bruk av teorien ovenfor for å bestemme vinklene til en pyramide med kvadratisk base.

Pyramiden og dens hjørner

Figuren under viser en pyramide, ved bunnen av denne ligger en firkant med side a. Høyden på figuren er h. Trenger å finne to hjørner:

mellom sideflate og base;
mellom sideribb og bunn.

For å løse problemet, må du først gå inn i koordinatsystemet og bestemme parametrene til de korresponderende hjørnene. Figuren viser at opprinnelsen til koordinatene sammenfaller med punktet i midten av kvadratbasen. I dette tilfellet er grunnplanet beskrevet av ligningen:

z=0

Det vil si at for enhver x og y er verdien av den tredje koordinaten alltid null. Sideplanet ABC skjærer z-aksen i punktet B(0; 0; h), og y-aksen i punktet med koordinatene (0; a/2; 0). Den krysser ikke x-aksen. Dette betyr at ligningen til ABC-planet kan skrives som:

y / (a/2) + z / h=1 eller

2hy + az - ah=0

Vector AB¯ er en sidekant. Start- og sluttkoordinatene er: A(a/2; a/2; 0) og B(0; 0; h). Deretter koordinatene til selve vektoren:

AB¯(-a/2; -a/2; h)

Vi har funnet alle nødvendige likninger og vektorer. Nå gjenstår det å bruke de vurderte formlene.

Først beregner vi i pyramiden vinkelen mellom planene til grunnflatenog side. De tilsvarende normalvektorene er: n₁¯(0; 0; 1) og n_{2¯(0; 2h; a). Da blir vinkelen:}