Fly i verdensrommet. Plassering av fly i verdensrommet

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sist endret: 2024-01-02 17:53

Et plan er et geometrisk objekt hvis egenskaper brukes ved konstruksjon av projeksjoner av punkter og linjer, samt ved beregning av avstander og dihedriske vinkler mellom elementer i tredimensjonale figurer. La oss vurdere i denne artikkelen hvilke ligninger som kan brukes til å studere plasseringen av fly i rommet.

Flydefinisjon

Alle forestiller seg intuitivt hvilket objekt som skal diskuteres. Fra et geometrisk synspunkt er et plan en samling punkter, alle vektorer mellom disse må være vinkelrett på en vektor. For eksempel, hvis det er m forskjellige punkter i rommet, kan m(m-1) / 2 forskjellige vektorer lages fra dem, som forbinder punktene i par. Hvis alle vektorer er vinkelrett på en retning, er dette en tilstrekkelig betingelse for at alle punktene m tilhører samme plan.

Generell ligning

I romlig geometri beskrives et plan ved hjelp av ligninger som generelt inneholder tre ukjente koordinater som tilsvarer x-, y- og z-aksene. Tilfå den generelle ligningen i plankoordinater i rommet, anta at det er en vektor n¯(A; B; C) og et punkt M(x₀; y₀; z_{0). Ved å bruke disse to objektene kan planet defineres unikt.}

Anta at det er et annet punkt P(x; y; z) hvis koordinater er ukjente. I henhold til definisjonen gitt ovenfor, må vektoren MP¯ være vinkelrett på n¯, det vil si at skalarproduktet for dem er lik null. Så kan vi skrive følgende uttrykk:

(n¯MP¯)=0 eller

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀₎₌₀

Åpner parentesene og introduserer en ny koeffisient D, får vi uttrykket:

Ax + By + Cz + D=0 hvor D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Dette uttrykket kalles den generelle ligningen for planet. Det er viktig å huske at koeffisientene foran x, y og z danner koordinatene til vektoren n¯(A; B; C) vinkelrett på planet. Den faller sammen med normalen og er en guide for flyet. For å bestemme den generelle ligningen spiller det ingen rolle hvor denne vektoren er rettet. Det vil si at planene bygget på vektorene n¯ og -n¯ vil være de samme.

Figuren over viser et plan, en vektor normal til det, og en linje vinkelrett på planet.

Segmenter avskåret av planet på aksene og den tilsvarende ligningen

Den generelle ligningen gjør det mulig å bruke enkle matematiske operasjoner for å bestemme, ipå hvilke punkter flyet vil skjære koordinataksene. Det er viktig å kjenne til denne informasjonen for å ha en idé om posisjonen i rommet til flyet, samt når det skal avbildes på tegningene.

For å bestemme de navngitte skjæringspunktene, brukes en ligning i segmenter. Det kalles så fordi det eksplisitt inneholder verdiene til lengdene til segmentene avskåret av planet på koordinataksene, når man teller fra punktet (0; 0; 0). La oss få denne ligningen.

Skriv det generelle uttrykket for flyet som følger:

Ax + By + Cz=-D

Venstre og høyre del kan deles med -D uten å krenke likhet. Vi har:

A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 eller

x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1

Design nevnerne for hvert ledd med et nytt symbol, vi får:

p=-D/A; q=-D/B; r=-D/C deretter

x/p + y/q + z/r=1

Dette er ligningen nevnt ovenfor i segmenter. Det følger av det at verdien av nevneren for hvert ledd indikerer koordinaten til skjæringspunktet med den tilsvarende aksen til planet. For eksempel skjærer den y-aksen i punktet (0; q; 0). Dette er lett å forstå hvis du erstatter null x- og z-koordinatene i ligningen.

Merk at hvis det ikke er noen variabel i ligningen i segmentene, betyr dette at planet ikke skjærer den tilsvarende aksen. For eksempel gitt uttrykket:

x/p + y/q=1

Dette betyr at planet vil kutte av segmentene p og q på henholdsvis x- og y-aksene, men det vil være parallelt med z-aksen.

Konklusjon om oppførselen til flyet nårfraværet av en variabel i ligningen hennes er også sant for et generelt typeuttrykk, som vist i figuren nedenfor.

Vektorparametrisk ligning

Det er en tredje type ligning som gjør det mulig å beskrive et fly i rommet. Den kalles en parametrisk vektor fordi den er gitt av to vektorer som ligger i planet og to parametere som kan ta vilkårlige uavhengige verdier. La oss vise hvordan denne ligningen kan oppnås.

Anta at det er et par kjente vektorer u ¯(a₁; b₁; c₁) og v¯(a₂; b₂; c₂). Hvis de ikke er parallelle, kan de brukes til å sette et spesifikt plan ved å feste begynnelsen av en av disse vektorene til et kjent punkt M(x₀; y₀; z_{0). Hvis en vilkårlig vektor MP¯ kan representeres som en kombinasjon av lineære vektorer u¯ og v¯, betyr dette at punktet P(x; y; z) tilhører samme plan som u¯, v¯. Dermed kan vi skrive likheten:}

MP¯=αu¯ + βv¯

Eller hvis vi skriver denne likheten når det gjelder koordinater, får vi:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z₀) + α(a₁; b₁; c₁) + β(a ₂; b₂; c₂₎

Den presenterte likheten er en parametrisk vektorligning for planet. PÅvektorrom på planet u¯ og v¯ kalles generatorer.

Når du løser problemet, vil det bli vist hvordan denne ligningen kan reduseres til en generell form for et fly.

Vinkel mellom fly i verdensrommet

Intuitivt kan fly i 3D-rom enten krysse hverandre eller ikke. I det første tilfellet er det av interesse å finne vinkelen mellom dem. Beregningen av denne vinkelen er vanskeligere enn vinkelen mellom linjene, siden vi snakker om et dihedr alt geometrisk objekt. Den allerede nevnte guidevektoren for flyet kommer imidlertid til unnsetning.

Det er geometrisk fastslått at den dihedriske vinkelen mellom to kryssende plan er nøyaktig lik vinkelen mellom deres ledevektorer. La oss betegne disse vektorene som n₁¯(a₁; b₁; c_{1) og n}2_¯(a2_{; b}2_{; c}2_{). Cosinus til vinkelen mellom dem bestemmes fra skalarproduktet. Det vil si at selve vinkelen i rommet mellom planene kan beregnes med formelen:}

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|))

Her brukes modulen i nevneren for å forkaste verdien av den stumpe vinkelen (mellom plan som krysser hverandre er den alltid mindre enn eller lik 90o).

I koordinatform kan dette uttrykket skrives om som følger:

φ=arccos(|a₁a₂ + b₁b ₂ +c₁c₂|/(√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b₂² + c ₂²⁾⁾⁾

Plane vinkelrett og parallelle

Hvis planene krysser hverandre og den dihedriske vinkelen som dannes av dem er 90o, vil de være vinkelrette. Et eksempel på slike fly er et rektangulært prisme eller en terning. Disse figurene er dannet av seks plan. Ved hvert toppunkt av de navngitte figurene er det tre plan vinkelrett på hverandre.

For å finne ut om de betraktede planene er vinkelrette, er det nok å beregne skalarproduktet av deres normale vektorer. En tilstrekkelig betingelse for vinkelrett i rommet til plan er nullverdien til dette produktet.

Parallelle kalles ikke-skjærende plan. Noen ganger sies det også at parallelle plan krysser hverandre i det uendelige. Parallellitetsbetingelsen i planets rom faller sammen med den betingelsen for retningsvektorene n₁¯ og n_{2¯. Du kan sjekke det på to måter:}

Beregn cosinus til den dihedriske vinkelen (cos(φ)) ved å bruke skalarproduktet. Hvis planene er parallelle, vil verdien være 1.

Prøv å representere en vektor gjennom en annen ved å multiplisere med et tall, dvs. n₁¯=kn_{2¯. Hvis dette kan gjøres, så er de tilsvarende flyeneparallell.}

Figuren viser to parallelle plan.

La oss nå gi eksempler på å løse to interessante problemer ved å bruke den oppnådde matematiske kunnskapen.

Hvordan får jeg en generell form fra en vektorligning?

Dette er et parametrisk vektoruttrykk for et fly. For å gjøre det lettere å forstå flyten av operasjoner og de matematiske triksene som brukes, bør du vurdere et spesifikt eksempel:

(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)

Utvid dette uttrykket og uttrykk de ukjente parameterne:

x=1 + 2α;

y=2 - α + β;

z=α + 3β

Deretter:

α=(x - 1)/2;

β=y - 2 + (x - 1)/2;

z=(x - 1)/2 + 3(y - 2 + (x - 1)/2)

Åpner parentesene i det siste uttrykket, får vi:

z=2x-2 + 3y - 6 eller

2x + 3y - z - 8=0

Vi har fått den generelle formen for ligningen for planet spesifisert i problemformuleringen i vektorform

Hvordan bygge et fly gjennom tre punkter?

Det er mulig å tegne et enkelt plan gjennom tre punkter hvis disse punktene ikke tilhører en enkelt rett linje. Algoritmen for å løse dette problemet består av følgende handlingssekvens:

finn koordinatene til to vektorer ved å koble parvise kjente punkter;
beregn kryssproduktet deres og få en vektor normal til planet;
skriv den generelle ligningen ved å bruke den funnet vektoren oghvilket som helst av de tre punktene.

La oss ta et konkret eksempel. Poeng gitt: