Tilt prisme og volum. Eksempel på problemløsning

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sist endret: 2023-12-17 05:37

Evnen til å bestemme volumet av romlige figurer er viktig for å løse geometriske og praktiske problemer. En av disse figurene er et prisme. Vi vil vurdere i artikkelen hva det er og vise hvordan man beregner volumet til et skrånende prisme.

Hva menes med et prisme i geometri?

Dette er et vanlig polyeder (polyeder), som er dannet av to identiske baser plassert i parallelle plan, og flere parallellogrammer som forbinder de markerte basene.

Prismebaser kan være vilkårlige polygoner, for eksempel trekant, firkant, sekskant og så videre. Dessuten bestemmer antallet hjørner (sider) av polygonen navnet på figuren.

Ethvert prisme med en n-gon base (n er antall sider) består av n+2 flater, 2 × n toppunkter og 3 × n kanter. Fra de gitte tallene kan man se at antallet elementer i prismet tilsvarer Eulers teorem:

3 × n=2 × n + n + 2 - 2

Bildet under viser hvordan trekantede og firkantede prismer laget av glass ser ut.

Typer av figurer. Skrått prisme

Det er allerede sagt ovenfor at navnet på et prisme bestemmes av antall sider av polygonet ved bunnen. Imidlertid er det andre funksjoner i strukturen som bestemmer egenskapene til figuren. Så hvis alle parallellogrammene som danner sideoverflaten til prismet er representert av rektangler eller firkanter, kalles en slik figur en rett linje. For et rett prisme er avstanden mellom basene lik lengden på sidekanten til ethvert rektangel.

Hvis noen eller alle sidene er parallellogrammer, så snakker vi om et skrånende prisme. Høyden vil allerede være mindre enn lengden på sideribben.

Et annet kriterium som figurene som vurderes klassifiseres etter, er lengden på sidene og vinklene til polygonen ved bunnen. Hvis de er like med hverandre, vil polygonet være riktig. En rett figur med en regulær polygon ved basene kalles regulær. Det er praktisk å jobbe med det når du skal bestemme overflateareal og volum. Et skrånende prisme i denne forbindelse byr på noen vanskeligheter.

Figuren nedenfor viser to prismer med kvadratisk base. 90°-vinkelen viser den grunnleggende forskjellen mellom et rett og et skrått prisme.

Formel for å bestemme volumet til en figur

En del av rommet avgrenset av flatene til et prisme kalles dets volum. For de vurderte tallene av enhver type, kan denne verdien bestemmes av følgende formel:

V=h × S_o

Her angir symbolet h prismets høyde,som er et mål på avstanden mellom to baser. Symbol S_o- ett grunnfelt.

Basisområdet er lett å finne. Gitt det faktum om polygonet er regulært eller ikke, og ved å vite antall sider, bør du bruke den riktige formelen og få S_o. For eksempel, for en vanlig n-gon med sidelengde a, vil området være:

S=n / 4 × a^{2 ×} ctg (pi / n)

La oss nå gå videre til høyde h. For et rett prisme er det ikke vanskelig å bestemme høyden, men for et skrå prisme er dette ikke en lett oppgave. Det kan løses ved forskjellige geometriske metoder, med utgangspunkt i spesifikke startforhold. Det er imidlertid en universell måte å bestemme høyden på en figur på. La oss beskrive det kort.

Ideen er å finne avstanden fra et punkt i rommet til et fly. Anta at planet er gitt av ligningen:

A × x+ B × y + C × z + D=0

Da vil flyet være på avstand:

h=|A × x₁ + B × y₁+ C × z₁ +D| / √ (A² + B²+ C²)

Hvis koordinataksene er arrangert slik at punktet (0; 0; 0) ligger i planet til den nedre grunnflaten av prismet, så kan ligningen for grunnplanet skrives som følger:

z=0

Dette betyr at formelen for høyden vil bli skrevetså:

h=z₁

Det er nok å finne z-koordinaten til et hvilket som helst punkt på den øvre basen for å bestemme høyden på figuren.

Eksempel på problemløsning

Figuren nedenfor viser et firkantet prisme. Basen til et skrånende prisme er et kvadrat med en side på 10 cm. Det er nødvendig å beregne volumet hvis det er kjent at lengden på sidekanten er 15 cm, og den spisse vinkelen på frontalparallellogrammet er 70 °.

Siden høyden h på figuren også er høyden på parallellogrammet, bruker vi formler for å bestemme arealet for å finne h. La oss betegne sidene av parallellogrammet som følger:

a=10 cm;

b=15cm

Så kan du skrive følgende formler for å bestemme arealet S_p:

S_p=a × b × sin (α);

S_p=a × h

Hvorfra vi kommer:

h=b × sin (α)

Her er α en spiss vinkel på parallellogrammet. Siden grunnflaten er en firkant, vil formelen for volumet til et skrånende prisme ha formen:

V=a² × b × sin (α)

Vi erstatter dataene fra betingelsen i formelen og får svaret: V ≈ 1410 cm³.