Direkte trekantet prisme. Formler for volum og overflateareal. Løsning av et geometrisk problem

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sist endret: 2024-01-02 17:53

På videregående, etter å ha studert egenskapene til figurer på flyet, går de videre til vurderingen av romlige geometriske objekter som prismer, kuler, pyramider, sylindre og kjegler. I denne artikkelen vil vi gi den mest komplette beskrivelsen av et rett trekantet prisme.

Hva er et trekantet prisme?

La oss starte artikkelen med definisjonen av figuren, som vil bli diskutert videre. Et prisme fra et geometris synspunkt er en figur i rommet dannet av to identiske n-goner plassert i parallelle plan, hvor de samme vinklene er forbundet med rette linjesegmenter. Disse segmentene kalles laterale ribber. Sammen med sidene av basen danner de en sideflate, som vanligvis er representert med parallellogrammer.

To n-goner er grunnlaget for figuren. Hvis sidekantene er vinkelrette på dem, snakker de om et rett prisme. Følgelig, hvis antallet sider n av polygonet ved basene er tre, kalles en slik figur et trekantet prisme.

Det trekantede rette prismet er vist over på figuren. Denne figuren kalles også vanlig, siden dens baser er likesidede trekanter. Lengden på figurens sidekant, angitt med bokstaven h i figuren, kalles dens høyde.

Figuren viser at et prisme med en trekantet base dannes av fem flater, hvorav to er likesidede trekanter, og tre er identiske rektangler. I tillegg til flatene har prismet seks topper ved basen og ni kanter. Antall betraktede elementer er relatert til hverandre ved Euler-teoremet:

antall kanter=antall hjørner + antall sider - 2.

Area av et rett trekantet prisme

Vi fant ut ovenfor at den aktuelle figuren er dannet av fem flater av to typer (to trekanter, tre rektangler). Alle disse flatene danner hele overflaten av prismet. Deres totale areal er arealet av figuren. Nedenfor er et trekantet prisme som brettes ut, som kan fås ved først å skjære av to baser fra figuren, og deretter skjære langs den ene kanten og brette ut sideflaten.

La oss gi formler for å bestemme overflatearealet til dette sveipet. La oss starte med basene til et rettvinklet trekantet prisme. Siden de representerer trekanter, kan området S_{3 av hver av dem bli funnet som følger:}

S₃=1/2ah_a.

Her er a siden av trekanten, h_{a er høyden senket fra toppen av trekanten til denne siden.}

Hvis trekanten er likesidet (regelmessig), avhenger formelen for S_{3 av kun én parameter a. Det ser ut som:}

S₃=√3/4a^2.

Dette uttrykket kan fås ved å betrakte en rettvinklet trekant dannet av segmentene a, a/2, h_a.

Arealet av basene S_o for et vanlig tall er dobbelt så mye som S_3:

S_o=2S₃=√3/2a^2.

Når det gjelder sideoverflatearealet S_{b, er det ikke vanskelig å beregne det. For å gjøre dette er det nok å multiplisere med tre arealet av et beinrektangel dannet av sidene a og h. Den tilsvarende formelen er:}

S_b=3at.

Dermed finnes arealet til et regulært prisme med en trekantet base ved hjelp av følgende formel:

S=S_o+ S_b=√3/2a^{2+ 3 ah.}

Hvis prismet er rett, men uregelmessig, bør du for å beregne arealet legge til arealene av rektangler som ikke er like hverandre separat.

Bestemme volumet til en figur

Volumet til et prisme forstås som rommet begrenset av sidene (flatene). Å beregne volumet til et rettvinklet trekantet prisme er mye enklere enn å beregne overflatearealet. For å gjøre dette er det nok å kjenne området til basen og høyden på figuren. Siden høyden h på en rett figur er lengden på dens sidekant, og hvordan man beregner basisarealet, har vi gitt i forrigepunkt, så gjenstår det å multiplisere disse to verdiene med hverandre for å oppnå ønsket volum. Formelen for det blir:

V=S_3h.

Merk at produktet av arealet til én base og høyden vil gi volumet til ikke bare et rett prisme, men også en skrå figur og til og med en sylinder.

Problem Solving

Trekantede glassprismer brukes i optikk for å studere spekteret av elektromagnetisk stråling som skyldes spredningsfenomenet. Det er kjent at et vanlig glassprisme har en grunnsidelengde på 10 cm og en kantlengde på 15 cm. Hva er arealet av glassflatene, og hvilket volum inneholder det?

For å bestemme arealet vil vi bruke formelen som er skrevet i artikkelen. Vi har:

S=√3/2a²+ 3ah=√3/210² + 3 1015=536,6 cm^2.

For å bestemme volumet V bruker vi også formelen ovenfor:

V=S₃h=√3/4a²h=√3/410 2^{15=649,5 cm}3^.

Til tross for at kantene på prismet er 10 cm og 15 cm lange, er volumet på figuren bare 0,65 liter (en kube med en side på 10 cm har et volum på 1 liter).