Skolens geometrikurs er delt inn i to store seksjoner: planimetri og solid geometri. Stereometri studerer romlige figurer og deres egenskaper. I denne artikkelen skal vi se på hva et rett prisme er og gi formler som beskriver dets egenskaper som diagonale lengder, volum og overflateareal.
Hva er et prisme?
Når skoleelever blir bedt om å gi navn til definisjonen av et prisme, svarer de at denne figuren er to identiske parallelle polygoner, hvis sider er forbundet med parallellogrammer. Denne definisjonen er så generell som mulig, siden den ikke pålegger betingelser for formen på polygoner, for deres gjensidige arrangement i parallelle plan. I tillegg innebærer det tilstedeværelsen av koblende parallellogrammer, hvis klasse også inkluderer en firkant, en rombe og et rektangel. Nedenfor kan du se hva et firkantet prisme er.
Vi ser at et prisme er et polyeder (polyeder) som består av n + 2sider, 2 × n toppunkter og 3 × n kanter, der n er antall sider (vertekser) til en av polygonene.
Begge polygoner kalles vanligvis basene til figuren, de andre flatene er sidene av prismet.
Konseptet med et rett prisme
Det finnes forskjellige typer prismer. Så de snakker om vanlige og uregelmessige figurer, om trekantede, femkantede og andre prismer, det er konvekse og konkave figurer, og til slutt er de skråstilte og rette. La oss snakke om sistnevnte mer detaljert.
Et rett prisme er en slik figur av den studerte klassen av polyedre, hvor alle sidefirkanter har rette vinkler. Det finnes bare to typer slike firkanter – et rektangel og et kvadrat.
Den betraktede formen til figuren har en viktig egenskap: høyden på et rett prisme er lik lengden på sidekanten. Merk at alle sidekantene på figuren er like hverandre. Når det gjelder sideflatene, er de i det generelle tilfellet ikke like med hverandre. Deres likhet er mulig hvis det i tillegg til at prismet er rett, også vil være riktig.
Figuren under viser en rett figur med femkantet bunn. Det kan sees at alle sideflatene er rektangler.
Prismediagonaler og dens lineære parametere
De viktigste lineære egenskapene til et prisme er høyden h og lengdene på sidene av basen ai, hvor i=1, …, n. Hvis basen er en vanlig polygon, er det nok å vite lengden a på den ene siden for å beskrive dens egenskaper. Å kjenne de markerte lineære parametrene tillater oss entydigdefiner slike egenskaper til en figur som dens volum eller overflate.
Diagonalene til et rett prisme er segmenter som forbinder to ikke-tilstøtende hjørner. Slike diagonaler kan være av tre typer:
- ligger i grunnplanene;
- plassert i planene til siderektanglene;
- figurer som tilhører volumet.
Lengdene på disse diagonalene knyttet til basen bør bestemmes avhengig av typen n-gon.
Diagonaler til siderektangler beregnes ved å bruke følgende formel:
d1i=√(ai2+ h2).
For å bestemme volumdiagonaler, må du vite verdien av lengden på den tilsvarende grunndiagonalen og høyden. Hvis en eller annen diagonal av basen er angitt med bokstaven d0i, beregnes volumdiagonalen d2i som følger:
d2i=√(d0i2+ h2).
For eksempel, i tilfellet med et vanlig firkantet prisme, vil lengden på volumdiagonalen være:
d2=√(2 × a2+ h2).
Merk at et rettvinklet trekantet prisme bare har én av de tre navngitte typene diagonaler: sidediagonalen.
Overflaten til den studerte formklassen
Overflateareal er summen av arealene til alle flatene til en figur. For å visualisere alle ansiktene bør du lage en skanning av prismet. Som et eksempel er et slikt sveip for en femkantet figur vist nedenfor.
Vi ser at antall planfigurer er n + 2, og n er rektangler. For å beregne arealet av hele sveipet, legg til arealene til to identiske baser og arealene til alle rektangler. Da vil den tilsvarende formelen se slik ut:
S=2 × So+ h × ∑i=1n (ai).
Denne likheten viser at sideoverflatearealet for den studerte typen prismer er lik produktet av høyden på figuren og omkretsen av dens base.
Grunnarealet til So kan beregnes ved å bruke den passende geometriske formelen. For eksempel, hvis grunnflaten til et rett prisme er en rettvinklet trekant, får vi:
So=a1 × a2 / 2.
Der a1 og a2 er bena til trekanten.
Hvis grunnflaten er en n-gon med like vinkler og sider, vil følgende formel være rettferdig:
So=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Volum Formula
Å bestemme volumet til et prisme av noe slag er ikke en vanskelig oppgave hvis grunnarealet So og høyden h er kjent. Ved å multiplisere disse verdiene sammen får vi volumet V i figuren, det vil si:
V=So × h.
Siden parameteren h for et rett prisme er lik lengden på sidekanten, kommer hele problemet med å beregne volumet ned på å beregne arealet So. Over osshar allerede sagt noen få ord og gitt et par formler for å bestemme So. Her legger vi bare merke til at i tilfellet med en vilkårlig formet base, bør du dele den opp i enkle segmenter (trekanter, rektangler), beregne arealet til hver og deretter legge til alle områdene for å få S o.
