Overflateareal av et rett prisme: formler og et eksempel på et problem

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sist endret: 2024-01-02 17:53

Volum og overflateareal er to viktige kjennetegn ved enhver kropp som har endelige dimensjoner i tredimensjon alt rom. I denne artikkelen tar vi for oss en velkjent klasse polyedre - prismer. Spesielt spørsmålet om hvordan man finner overflatearealet til et rett prisme vil bli avslørt.

Hva er et prisme?

Et prisme er et hvilket som helst polyeder som er avgrenset av flere parallellogrammer og to identiske polygoner plassert i parallelle plan. Disse polygonene regnes som basene til figuren, og parallellogrammene er sidene. Antall sider (hjørner) av basen bestemmer navnet på figuren. For eksempel viser figuren nedenfor et femkantet prisme.

Avstanden mellom basene kalles høyden på figuren. Hvis høyden er lik lengden på en sidekant, vil et slikt prisme være rett. Den andre tilstrekkelige egenskapen for et rett prisme er at alle sidene er rektangler eller firkanter. Hvis, skjøntHvis den ene siden er et generelt parallellogram, vil figuren være skråstilt. Nedenfor kan du se hvordan de rette og skrå prismene visuelt er forskjellige på eksemplet med firkantede figurer.

Overflateareal av et rett prisme

Hvis en geometrisk figur har en n-gonal base, består den av n+2 flater, hvorav n er rektangler. La oss angi lengdene på sidene av basen som a_i, hvor i=1, 2, …, n, og angi høyden på figuren, som er lik lengden på sidekant, som h. For å bestemme arealet (S) av overflaten til alle flater, legg til arealet S_{o for hver av basene og alle områdene av sidene (rektanglene). Dermed kan formelen for S i generell form skrives som følger:}

S=2S_o+ S_b

Hvor S_{b er sideoverflaten.}

Siden bunnen av et rett prisme kan være absolutt et hvilket som helst flatt polygon, kan en enkelt formel for å beregne S_{oikke gis, og for å bestemme denne verdien, i den generelle tilfelle, bør geometrisk analyse utføres. For eksempel, hvis grunnflaten er en vanlig n-gon med side a, beregnes arealet av formelen:}

S_o=n/4ctg(pi/n)a²

Når det gjelder verdien av S_{b, kan uttrykket for beregningen gis. Sideoverflatearealet til et rett prisme er:}

S_b=h∑_i=1(a_i)

Det vil si verdienS_{b beregnes som produktet av figurens høyde og omkretsen av basen.}

Eksempel på problemløsning

La oss bruke den ervervede kunnskapen til å løse følgende geometriske problem. Gitt et prisme, hvis basis er en rettvinklet trekant med sider i en rett vinkel på 5 cm og 7 cm. Høyden på figuren er 10 cm. Det er nødvendig å finne overflatearealet til et rettvinklet trekantet prisme.

La oss først beregne hypotenusen til trekanten. Det vil være lik:

c=√(5²+ 7^{2)=8,6 cm}

La oss nå gjøre enda en forberedende matematisk operasjon - beregne omkretsen til basen. Det blir:

P=5 + 7 + 8,6=20,6cm

Arealet til figurens sideflate beregnes som produktet av verdien P og høyden h=10 cm, det vil si S_b=206 cm ^2.

For å finne arealet av hele overflaten, bør to grunnflater legges til den funnet verdien. Siden arealet av en rettvinklet trekant bestemmes av halvparten av produktet av bena, får vi:

2S_o=257/2=35cm²

Da får vi at overflatearealet til et rett trekantet prisme er 35 + 206=241 cm2.