Vanlig sekskantet pyramide. Formler for volum og overflateareal. Løsning av et geometrisk problem

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sist endret: 2024-01-02 17:53

Stereometri, som en gren av geometri i rommet, studerer egenskapene til prismer, sylindre, kjegler, kuler, pyramider og andre tredimensjonale figurer. Denne artikkelen er viet en detaljert gjennomgang av egenskapene og egenskapene til en sekskantet regulær pyramide.

Hvilken pyramide skal studeres

En vanlig sekskantet pyramide er en figur i rommet, som er begrenset av én likesidet og likekantet sekskant, og seks like likebenede trekanter. Disse trekantene kan også være likesidede under visse forhold. Denne pyramiden er vist nedenfor.

Den samme figuren er vist her, bare i ett tilfelle er den snudd med sideflaten mot leseren, og i den andre - med sidekanten.

En vanlig sekskantet pyramide har 7 ansikter, som ble nevnt ovenfor. Den har også 7 hjørner og 12 kanter. I motsetning til prismer har alle pyramider ett spesielt toppunkt, som dannes av skjæringspunktet mellom lateralentrekanter. For en vanlig pyramide spiller den en viktig rolle, siden vinkelrett senket fra den til bunnen av figuren er høyden. Videre vil høyden bli angitt med bokstaven h.

Den viste pyramiden kalles riktig av to grunner:

• ved bunnen er en sekskant med like sidelengder a og like vinkler på 120o;
• Høyden på pyramiden h skjærer sekskanten nøyaktig i midten (skjæringspunktet ligger i samme avstand fra alle sider og fra alle hjørner av sekskanten).

Overflateareal

Egenskapene til en vanlig sekskantet pyramide vil bli vurdert fra definisjonen av området. For å gjøre dette er det først nyttig å brette ut figuren på et fly. En skjematisk fremstilling av den er vist nedenfor.

Det kan sees at arealet av sveipet, og dermed hele overflaten av figuren som vurderes, er lik summen av arealene av seks like trekanter og en sekskant.

For å bestemme arealet til en sekskant S_{6, bruk den universelle formelen for en vanlig n-gon:}

S=n/4a2ctg(pi/n)=>

S₆=3√3/2a^2.

Hvor a er lengden på siden av sekskanten.

Arealet til en trekant S₃ av sidesiden kan bli funnet hvis du vet verdien av høyden h_b:

S₃=1/2t_ba.

Fordi alle sekstrekanter er like hverandre, så får vi et arbeidsuttrykk for å bestemme arealet av en sekskantet pyramide med riktig grunnflate:

S=S₆+ 6S₃=3√3/2a^{2 + 61/2h}b_{a=3a(√3/2a + h}b_).

Pyramidvolum

Akkurat som området er volumet til en sekskantet regulær pyramide dens viktige egenskap. Dette volumet beregnes av den generelle formelen for alle pyramider og kjegler. La oss skrive det ned:

V=1/3S_oh.

Her er symbolet S_o arealet av den sekskantede basen, dvs. S_o=S _6.

Ved å erstatte uttrykket ovenfor med S_{6 i formelen for V, kommer vi til den endelige likheten for å bestemme volumet til en regulær sekskantet pyramide:}

V=√3/2a2h.

Et eksempel på et geometrisk problem

I en vanlig sekskantet pyramide er sidekanten dobbelt så lang som grunnsiden. Når du vet at sistnevnte er 7 cm, er det nødvendig å beregne overflatearealet og volumet til denne figuren.

Som du kanskje gjetter, innebærer løsningen av dette problemet bruk av uttrykkene som er oppnådd ovenfor for S og V. Likevel vil det ikke være mulig å bruke dem med en gang, siden vi ikke kjenner apotemet og høyden på en vanlig sekskantet pyramide. La oss beregne dem.

Apotemet h_b kan bestemmes ved å vurdere en rettvinklet trekant bygget på sidene b, a/2 og h_{b. Her er b lengden på sidekanten. Ved å bruke tilstanden til problemet får vi:}

h_b=√(b²-a²/4)=√(14) ²-7^{2/4)=13, 555 cm.}

Høyden h til pyramiden kan bestemmes på nøyaktig samme måte som en apotem, men nå bør vi vurdere en trekant med sidene h, b og a, plassert inne i pyramiden. Høyden vil være:

h=√(b²- a²)=√(14²- 7 ^{2)=12, 124 cm.}

Det kan sees at den beregnede høydeverdien er mindre enn for apotem, som er sant for enhver pyramide.

Nå kan du bruke uttrykk for volum og areal:

S=3a(√3/2a + h_b)=37(√3/27 + 13, 555)=411, 96cm^2;

V=√3/2a²h=√3/27²12, 124=514, 48cm^3.

For entydig å bestemme en karakteristikk ved en vanlig sekskantet pyramide, må du kjenne to av dens lineære parametere.