Pythagoras hevdet at tallet ligger til grunn for verden sammen med de grunnleggende elementene. Platon mente at tallet forbinder fenomenet og noumenonet, og hjelper til med å erkjenne, måle og trekke konklusjoner. Aritmetikk kommer fra ordet "aritmos" - et tall, begynnelsen på begynnelsen i matematikk. Den kan beskrive alle objekter - fra et elementært eple til abstrakte rom.
Behov som utviklingsfaktor
I de tidlige stadiene av samfunnsdannelsen var folks behov begrenset til behovet for å holde tellingen – en sekk korn, to sekker med korn osv. Naturlige tall var nok til dette, hvorav settet er en uendelig positiv sekvens av heltall N.
Senere, med utviklingen av matematikk som vitenskap, ble det behov for et eget felt med heltall Z - det inkluderer negative verdier og null. Dens utseende på husholdningsnivå ble provosert av det faktum at det i hovedregnskapet var nødvendig å på en eller annen måte fiksegjeld og tap. På et vitenskapelig nivå har negative tall gjort det mulig å løse de enkleste lineære ligningene. Blant annet er bildet av et trivielt koordinatsystem nå blitt mulig, siden et referansepunkt har dukket opp.
Neste steg var behovet for å innføre brøktall, siden vitenskapen ikke sto stille, krevde stadig flere funn et teoretisk grunnlag for en ny vekstimpuls. Slik så feltet med rasjonelle tall ut Q.
Endelig sluttet rasjonalitet å tilfredsstille forespørsler, fordi alle nye konklusjoner krevde begrunnelse. Det dukket opp feltet med reelle tall R, verkene til Euklid om incommensurability av visse mengder på grunn av deres irrasjonalitet. Det vil si at gamle greske matematikere posisjonerte tallet ikke bare som en konstant, men også som en abstrakt mengde, som er preget av forholdet mellom incommensurable mengder. På grunn av det faktum at reelle tall dukket opp, så størrelser som "pi" og "e" lyset, uten hvilke moderne matematikk ikke kunne finne sted.
Den siste nyvinningen var det komplekse tallet C. Det besvarte en rekke spørsmål og tilbakeviste de tidligere introduserte postulatene. På grunn av den raske utviklingen av algebra, var utfallet forutsigbart - å ha reelle tall, var det umulig å løse mange problemer. For eksempel, takket være komplekse tall, skilte teorien om strenger og kaos seg ut, og likningene for hydrodynamikk utvidet seg.
Mengteori. Cantor
Konseptet med uendelighet til enhver tidforårsaket kontrovers, siden det verken kunne bevises eller motbevises. I matematikksammenheng, som opererte med strengt verifiserte postulater, manifesterte dette seg tydeligst, spesielt siden det teologiske aspektet fortsatt hadde vekt i vitenskapen.
Men takket være arbeidet til matematikeren Georg Kantor f alt alt på plass over tid. Han beviste at det er et uendelig antall uendelige sett, og at feltet R er større enn feltet N, selv om de begge ikke har noen ende. På midten av 1800-tallet ble ideene hans høyt k alt tull og en forbrytelse mot klassiske, urokkelige kanoner, men tiden satte alt på plass.
Grunnleggende egenskaper for feltet R
Reelle tall har ikke bare de samme egenskapene som delmengdene som er inkludert i dem, men er også supplert med andre på grunn av skalaen til elementene deres:
- Null eksisterer og tilhører feltet R. c + 0=c for enhver c fra R.
- Null eksisterer og tilhører feltet R. c x 0=0 for enhver c fra R.
- Relasjonen c: d for d ≠ 0 eksisterer og er gyldig for alle c, d fra R.
- Feltet R er ordnet, det vil si hvis c ≦ d, d ≦ c, så er c=d for enhver c, d fra R.
- Addisjon i feltet R er kommutativ, dvs. c + d=d + c for enhver c, d fra R.
- Multiplikasjon i feltet R er kommutativ, dvs. c x d=d x c for enhver c, d fra R.
- Addisjon i feltet R er assosiativ, dvs. (c + d) + f=c + (d + f) for alle c, d, f fra R.
- Multiplikasjon i feltet R er assosiativ, dvs. (c x d) x f=c x (d x f) for enhver c, d, f fra R.
- For hvert tall i feltet R er det en motsetning, slik at c + (-c)=0, hvor c, -c er fra R.
- For hvert tall fra feltet R er det invers, slik at c x c-1 =1, hvor c, c-1 fra R.
- Enheten eksisterer og tilhører R, så c x 1=c, for enhver c fra R.
- Fordelingsloven er gyldig, så c x (d + f)=c x d + c x f, for alle c, d, f fra R.
- I felt R er null ikke lik én.
- Feltet R er transitivt: hvis c ≦ d, d ≦ f, så c ≦ f for enhver c, d, f fra R.
- I feltet R er rekkefølge og tillegg relatert: hvis c ≦ d, så c + f ≦ d + f for enhver c, d, f fra R.
- I feltet R er rekkefølge og multiplikasjon relatert: hvis 0 ≦ c, 0 ≦ d, så 0 ≦ c x d for enhver c, d fra R.
- Både negative og positive reelle tall er kontinuerlige, det vil si at for enhver c, d fra R, er det en f fra R slik at c ≦ f ≦ d.
Modul i felt R
Reelle tall inkluderer modul.
Betegnes som |f| for enhver f fra R. |f|=f hvis 0 ≦ f og |f|=-f hvis 0 > f. Hvis vi betrakter modulen som en geometrisk størrelse, så er det den tilbakelagte distansen - det spiller ingen rolle om du "passerte" null til minus eller frem til pluss.
Komplekse og reelle tall. Hva er likhetene og hva er forskjellene?
I det store og hele er komplekse og reelle tall ett og det samme, bortsett fra detimaginær enhet i, hvis kvadrat er -1. Elementene i feltene R og C kan representeres som følgende formel:
c=d + f x i, hvor d, f tilhører feltet R og i er den imaginære enheten
For å få c fra R i dette tilfellet settes f ganske enkelt lik null, det vil si at bare den reelle delen av tallet gjenstår. På grunn av det faktum at feltet med komplekse tall har samme sett med egenskaper som feltet med reelle tall, f x i=0 hvis f=0.
Når det gjelder praktiske forskjeller, for eksempel i R-feltet, løses ikke andregradsligningen hvis diskriminanten er negativ, mens C-feltet ikke pålegger en slik begrensning på grunn av introduksjonen av den imaginære enheten i.
Resultater
«Klossene» i aksiomene og postulatene som matematikken bygger på, endres ikke. På grunn av økningen i informasjon og introduksjon av nye teorier, er følgende «klosser» plassert på noen av dem, som i fremtiden kan bli grunnlaget for neste steg. For eksempel mister ikke naturlige tall sin relevans, til tross for at de er en delmengde av det reelle feltet R. Det er på dem all elementær aritmetikk er basert, som menneskelig kunnskap om verden begynner med.
Fra et praktisk synspunkt ser reelle tall ut som en rett linje. På den kan du velge retning, angi opprinnelse og trinn. En rett linje består av et uendelig antall punkter, som hver tilsvarer et enkelt reelt tall, uavhengig av om det er rasjonelt eller ikke. Det fremgår tydelig av beskrivelsen at det er snakk om et begrep som både matematikk generelt og matematisk analyse generelt er bygget på.spesielt.
