Arealet til sideflaten og volumet til en avkortet pyramide: formler og et eksempel på løsning av et typisk problem

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sist endret: 2024-01-02 17:53

Når man studerer egenskapene til figurer i tredimensjon alt rom innenfor rammen av stereometri, må man ofte løse problemer for å bestemme volum og overflateareal. I denne artikkelen vil vi vise hvordan du beregner volum og sideoverflateareal for en avkortet pyramide ved å bruke kjente formler.

Pyramid i geometri

I geometri er en vanlig pyramide en figur i rommet, som er bygget på en flat n-gon. Alle dens toppunkter er koblet til ett punkt som ligger utenfor polygonets plan. Her er for eksempel et bilde som viser en femkantet pyramide.

Denne figuren er dannet av ansikter, hjørner og kanter. Det femkantede ansiktet kalles basen. De resterende trekantede flatene danner sideflaten. Skjæringspunktet for alle trekanter er pyramidens hovedpunkt. Hvis en perpendikulær senkes fra den til basen, er to alternativer for posisjonen til skjæringspunktet mulig:

• i det geometriske sentrum, da kalles pyramiden en rett linje;
• ikke medgeometrisk senter, vil figuren være på skrå.

Vi vil videre kun vurdere rette figurer med en vanlig n-gonal base.

Hva er denne figuren - en avkortet pyramide?

For å bestemme volumet til en avkortet pyramide, er det nødvendig å tydelig forstå hvilken figur det er snakk om. La oss avklare dette problemet.

Anta at vi tar et skjæreplan som er parallelt med bunnen av en vanlig pyramide og skjærer av en del av sideflaten med det. Hvis denne operasjonen gjøres med den femkantede pyramiden vist ovenfor, vil du få en slik figur som i figuren nedenfor.

Fra bildet kan det ses at denne pyramiden allerede har to baser, og den øverste ligner på den nederste, men den er mindre i størrelse. Sideflaten er ikke lenger representert av trekanter, men av trapeser. De er likebenede, og antallet tilsvarer antall sider av basen. Den avkortede figuren har ikke et hovedpunkt, som en vanlig pyramide, og høyden bestemmes av avstanden mellom parallelle baser.

I det generelle tilfellet, hvis figuren som vurderes er dannet av n-gonale baser, har den n+2 flater eller sider, 2n toppunkter og 3n kanter. Det vil si at den avkortede pyramiden er et polyeder.

Formel for volumet til en avkortet pyramide

Husk at volumet til en vanlig pyramide er 1/3 av produktet av høyden og grunnflaten. Denne formelen er ikke egnet for en avkortet pyramide, siden den har to baser. Og volumetvil alltid være mindre enn samme verdi for det vanlige tallet som det er avledet fra.

Uten å gå inn på de matematiske detaljene for å få uttrykket, presenterer vi den endelige formelen for volumet til en avkortet pyramide. Det er skrevet som følger:

V=1/3t(S₁+ S₂+ √(S₁ S₂₎₎

Here S₁ og S_{2 er arealene til henholdsvis den nedre og øvre basen, h er høyden på figuren. Det skriftlige uttrykket gjelder ikke bare for en rett regulær avkortet pyramide, men også for enhver figur av denne klassen. Dessuten, uavhengig av typen basispolygoner. Den eneste betingelsen som begrenser bruken av uttrykket for V er behovet for at basene til pyramiden skal være parallelle med hverandre.}

Flere viktige konklusjoner kan trekkes ved å studere egenskapene til denne formelen. Så hvis arealet til den øvre basen er null, kommer vi til formelen for V i en vanlig pyramide. Hvis arealene til basene er like med hverandre, får vi formelen for volumet til prismet.

Hvordan bestemmer jeg sideoverflaten?

Å kjenne til egenskapene til en avkortet pyramide krever ikke bare evnen til å beregne volumet, men også å vite hvordan man bestemmer arealet av sideflaten.

Trunkert pyramide består av to typer ansikter:

• isosceles trapezoids;
• polygonale baser.

Hvis det er en vanlig polygon i basene, representerer ikke beregningen av arealet stortvanskeligheter. For å gjøre dette trenger du bare å vite lengden på siden a og tallet n.

Når det gjelder en sideflate, innebærer beregningen av arealet å bestemme denne verdien for hver av de n trapesene. Hvis n-gonen er riktig, blir formelen for det laterale overflatearealet:

S_b=h_bn(a₁+a_2)/2

Her er h_b høyden på trapesen, som kalles figurens apoteme. Mengdene a₁ og a_{2er lengdene på sidene til vanlige n-gonale baser.}

For hver vanlig n-gonal avkortet pyramide kan apotemaet h_b defineres unikt gjennom parameterne a₁ og a _{2og høyden h på formen.}

Oppgaven med å beregne volumet og arealet til en figur

Gi en vanlig trekantet avkortet pyramide. Det er kjent at høyden h er 10 cm, og lengdene på sidene på basene er 5 cm og 3 cm. Hva er volumet til den avkortede pyramiden og arealet av sideoverflaten?

Først, la oss beregne verdien V. For å gjøre dette, finn arealene av likesidede trekanter som ligger ved foten av figuren. Vi har:

S₁=√3/4a₁²=√3/4 5²=10,825 cm^2;

S₂=√3/4a₂²=√3/4 3²=3,897 cm²

Sett ut dataene i formelen for V, vi får ønsket volum:

V=1/310(10, 825 + 3, 897 + √(10, 825 3, 897)) ≈ 70,72 cm3

For å bestemme sideflaten, bør du vite detapotemlengde h_{b. Med tanke på den tilsvarende rettvinklede trekanten inne i pyramiden, kan vi skrive likheten for den:}

h_b=√((√3/6(a₁- a₂))²+ h^{2) ≈ 10,017 cm}

Verdien av apotemet og sidene til de trekantede basene erstattes med uttrykket for S_{b, og vi får svaret:}

S_b=h_bn(a₁+a₂)/2=10,0173(5+3)/2 ≈ 120,2cm²

Dermed svarte vi på alle spørsmålene til problemet: V ≈ 70,72 cm³, S_b ≈ 120,2 cm2^.