Formelen for volumet til en sekskantet pyramide: et eksempel på å løse et problem

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sist endret: 2024-01-02 17:53

Beregning av volumer av romlige figurer er en av stereometriens viktige oppgaver. I denne artikkelen vil vi vurdere spørsmålet om å bestemme volumet av et slikt polyeder som en pyramide, og også gi formelen for volumet til en vanlig sekskantet pyramide.

sekskantet pyramide

La oss først se på hva figuren er, som vil bli diskutert i artikkelen.

La oss ha en vilkårlig sekskant hvis sider ikke nødvendigvis er like med hverandre. Anta også at vi har valgt et punkt i rommet som ikke er i sekskantplanet. Ved å koble alle hjørnene av sistnevnte med det valgte punktet, får vi en pyramide. To forskjellige pyramider med sekskantet bunn er vist i figuren nedenfor.

Det kan sees at figuren i tillegg til sekskanten består av seks trekanter, hvis forbindelsespunkt kalles toppunktet. Forskjellen mellom de avbildede pyramidene er at høyden h til høyre for dem ikke skjærer den sekskantede basen i dets geometriske sentrum, og høyden til venstre figur fallermidt i sentrum. Takket være dette kriteriet ble den venstre pyramiden k alt rett, og den høyre - skrå.

Siden bunnen av venstre figur i figuren er dannet av en sekskant med like sider og vinkler, kalles den riktig. Videre i artikkelen vil vi kun snakke om denne pyramiden.

Volum av den sekskantede pyramiden

For å beregne volumet til en vilkårlig pyramide, er følgende formel gyldig:

V=1/3tS_o

Her er h lengden på figurens høyde, S_{o er arealet av basen. La oss bruke dette uttrykket til å bestemme volumet til en regulær sekskantet pyramide.}

Siden figuren som vurderes er basert på en likesidet sekskant, for å beregne arealet, kan du bruke følgende generelle uttrykk for en n-gon:

S=n/4a2ctg(pi/n)

Her er n et heltall lik antall sider (hjørner) av polygonet, a er lengden på siden, cotangens-funksjonen beregnes ved å bruke de riktige tabellene.

Ved å bruke uttrykket for n=6, får vi:

S₆=6/4a² ctg(pi/6)=√3/2a ²

Nå gjenstår det å erstatte dette uttrykket med den generelle formelen for volumet V:

V₆=S₆h=√3/2ha²

For å beregne volumet til den aktuelle pyramiden, er det derfor nødvendig å kjenne dens to lineære parametere: lengden på siden av basen og høyden på figuren.

Eksempel på problemløsning

La oss vise hvordan det oppnådde uttrykket for V_{6 kan brukes til å løse følgende problem.}

Det er kjent at volumet til en vanlig sekskantet pyramide er 100 cm3. Det er nødvendig å bestemme siden av basen og høyden på figuren, hvis det er kjent at de er relatert til hverandre ved følgende likhet:

a=2t

Siden bare a og h er inkludert i formelen for volum, kan alle disse parameterne erstattes i den, uttrykt i form av den andre. Hvis du for eksempel erstatter a, får vi:

V₆=√3/2t(2t)^2=>

h=∛(V_6/(2√3))

For å finne verdien av høyden til en figur, må du ta roten av tredje grad fra volumet, som tilsvarer lengdedimensjonen. Vi erstatter volumverdien V_{6 av pyramiden fra problemformuleringen, vi får høyden:}

h=∛(100/(2√3)) ≈ 3,0676 cm

Siden siden av basen, i samsvar med tilstanden til problemet, er dobbelt så stor som den funnet verdien, får vi verdien for den:

a=2t=23, 0676=6, 1352cm

Volumet til en sekskantet pyramide kan ikke bare finnes gjennom høyden på figuren og verdien av siden av basen. Det er nok å kjenne to forskjellige lineære parametere til pyramiden for å beregne den, for eksempel apotemaet og lengden på sidekanten.