Når du studerer absolutt enhver romlig figur, er det viktig å vite hvordan du beregner volumet. Denne artikkelen gir en formel for volumet til en vanlig firkantet pyramide, og viser også hvordan denne formelen bør brukes ved å bruke et eksempel på å løse problemer.
Hvilken pyramide snakker vi om?
Alle videregående elever vet at en pyramide er et polyeder som består av trekanter og en polygon. Sistnevnte er grunnlaget for figuren. Trekanter har én felles side med basen og skjærer hverandre i et enkelt punkt, som er toppen av pyramiden.
Hver pyramide er preget av lengden på sidene av basen, lengden på sidekantene og høyden. Sistnevnte er et vinkelrett segment, senket til basen fra toppen av figuren.
En vanlig firkantet pyramide er en figur med en kvadratisk base, hvis høyde skjærer denne firkanten i midten. Det kanskje mest kjente eksemplet på denne typen pyramider er de gamle egyptiske steinstrukturene. Nedenfor er et bildeCheops-pyramider.
Figuren som studeres har fem ansikter, hvorav fire er identiske likebenede trekanter. Den er også preget av fem hjørner, hvorav fire tilhører basen, og åtte kanter (4 kanter på basen og 4 kanter på sideflatene).
Formelen for volumet til en firkantet pyramide er riktig
Volumet til den aktuelle figuren er en del av rommet som er begrenset av fem sider. For å beregne dette volumet bruker vi følgende avhengighet av arealet til en skive parallelt med bunnen av pyramiden Sz på den vertikale koordinaten z:
Sz=So (h - z/h)2
Her er So arealet av kvadratbasen. Hvis vi erstatter z=h i det skrevne uttrykket, vil vi få en nullverdi for Sz. Denne verdien av z tilsvarer en skive som bare vil inneholde toppen av pyramiden. Hvis z=0, får vi verdien av grunnarealet So.
Det er lett å finne volumet til en pyramide hvis du kjenner funksjonen Sz(z), for dette er det nok å kutte figuren til et uendelig antall lag parallelt med basen, og utfør deretter integrasjonsoperasjonen. Jeg følger denne teknikken, vi får:
V=∫0h(Sz)dz=-S 0(h-z)3 / (3h2)|0 h=1/3S0h.
Fordi S0 erarealet av kvadratbasen, og ved å betegne siden av kvadratet med bokstaven a, får vi formelen for volumet til en vanlig firkantet pyramide:
V=1/3a2h.
La oss nå bruke eksempler på problemløsning for å vise hvordan dette uttrykket skal brukes.
Problemet med å bestemme volumet til en pyramide gjennom apotem og sidekant
Apotemet til en pyramide er høyden på dens sidetrekant, som er senket til siden av basen. Siden alle trekanter er like i en vanlig pyramide, vil deres apotemer også være de samme. La oss angi lengden med symbolet hb. Angi sidekanten som b.
Når du vet at apotemet til pyramiden er 12 cm, og dens sidekant er 15 cm, kan du finne volumet til en vanlig firkantet pyramide.
Formelen for figurens volum skrevet i forrige avsnitt inneholder to parametere: sidelengde a og høyde h. For øyeblikket kjenner vi ingen av dem, så la oss ta en titt på beregningene deres.
Lengden på siden av et kvadrat a er lett å beregne hvis du bruker Pythagoras teorem for en rettvinklet trekant, der hypotenusen er kanten b, og bena er apotemet h b og halvparten av siden av basen a/2. Vi får:
b2=hb2+ a2 /4=>
a=2√(b2- hb2).
Ved å erstatte de kjente verdiene fra betingelsen, får vi verdien a=18 cm.
For å beregne høyden h på pyramiden kan du gjøre to ting: vurdere en rektangulæren trekant med en hypotenuse-lateral kant eller med en hypotenuse-apotem. Begge metodene er like og involverer utførelse av samme antall matematiske operasjoner. La oss dvele ved betraktningen av en trekant, der hypotenusen er apotemet hb. Bena i den vil være h og a / 2. Da får vi:
h=√(hb2-a2/4)=√(12) 2- 182/4)=7, 937 cm.
Nå kan du bruke formelen for volum V:
V=1/3a2h=1/31827, 937=857, 196 cm 3.
Dermed er volumet til en vanlig firkantet pyramide omtrent 0,86 liter.
Volumet av Keopspyramiden
La oss nå løse et interessant og praktisk viktig problem: Finn volumet til den største pyramiden i Giza. Det er kjent fra litteraturen at den opprinnelige høyden på bygningen var 146,5 meter, og lengden på basen er 230,363 meter. Disse tallene lar oss bruke formelen for å beregne V. Vi får:
V=1/3a2h=1/3230, 3632146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Den resulterende verdien er nesten 2,6 millioner m3. Dette volumet tilsvarer volumet til en kube hvis side er 137,4 meter.
