I geometri brukes to viktige egenskaper for å studere figurer: lengdene på sidene og vinklene mellom dem. Når det gjelder romlige figurer, legges dihedrale vinkler til disse egenskapene. La oss vurdere hva det er, og også beskrive metoden for å bestemme disse vinklene ved å bruke eksemplet på en pyramide.
Konseptet med dihedral vinkel
Alle vet at to kryssende linjer danner en vinkel med toppunktet i skjæringspunktet. Denne vinkelen kan måles med en gradskive, eller du kan bruke trigonometriske funksjoner for å beregne den. Vinkelen som dannes av to rette vinkler kalles lineær.
Tenk deg nå at i tredimensjon alt rom er det to plan som skjærer hverandre i en rett linje. De er vist på bildet.
En dihedral vinkel er vinkelen mellom to kryssende plan. Akkurat som lineær måles den i grader eller radianer. Hvis du kommer til et punkt på linjen som planene skjærer, gjenopprett to perpendikulære,ligger i disse planene, så vil vinkelen mellom dem være ønsket dihedral. Den enkleste måten å bestemme denne vinkelen på er å bruke de generelle likningene til fly.
Ligningen av plan og formelen for vinkelen mellom dem
Likningen for et hvilket som helst plan i rommet i generelle termer er skrevet som følger:
A × x + B × y + C × z + D=0.
Her er x, y, z koordinatene til punktene som tilhører planet, koeffisientene A, B, C, D er noen kjente tall. Det praktiske med denne likheten for å beregne dihedriske vinkler er at den eksplisitt inneholder koordinatene til retningsvektoren til planet. Vi vil betegne det med n¯. Så:
n¯=(A; B; C).
Vektoren n¯ er vinkelrett på planet. Vinkelen mellom to plan er lik vinkelen mellom retningsvektorene deres n1¯ og n2¯. Det er kjent fra matematikken at vinkelen som dannes av to vektorer er unikt bestemt fra deres skalarprodukt. Dette lar deg skrive en formel for å beregne den dihedriske vinkelen mellom to plan:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|)).
Hvis vi erstatter koordinatene til vektorene, vil formelen bli skrevet eksplisitt:
φ=arccos (|A1 × A2 + B1 × B 2 + C1 × C2| / (√(A1 2 + B12 + C12 ) × √(A22+B22 + C22))).
Modulotegnet i telleren brukes til å definere kun en spiss vinkel, siden en dihedral vinkel alltid er mindre enn eller lik 90o.
Pyramiden og dens hjørner
Pyramid er en figur dannet av én n-gon og n trekanter. Her er n et heltall lik antall sider av polygonen som er bunnen av pyramiden. Denne romlige figuren er et polyeder eller polyeder, siden den består av flate flater (sider).
De dihedriske vinklene til et pyramide-polyeder kan være av to typer:
- mellom grunnflate og side (trekant);
- mellom to sider.
Hvis pyramiden anses som regelmessig, er det lett å bestemme de navngitte vinklene for den. For å gjøre dette, ved å bruke koordinatene til tre kjente punkter, bør man komponere en likning av plan, og deretter bruke formelen gitt i avsnittet ovenfor for vinkelen φ.
Nedenfor gir vi et eksempel der vi viser hvordan man finner dihedriske vinkler ved bunnen av en firkantet regulær pyramide.
En firkantet regulær pyramide og en vinkel ved bunnen
Anta at en vanlig pyramide med kvadratisk base er gitt. Lengden på siden av firkanten er a, høyden på figuren er h. Finn vinkelen mellom bunnen av pyramiden og siden.
La oss plassere opprinnelsen til koordinatsystemet i midten av firkanten. Deretter koordinatene til punkteneA, B, C, D vist på bildet vil være:
A=(a/2; -a/2; 0);
B=(a/2; a/2; 0);
C=(-a/2; a/2; 0);
D=(0; 0; h).
Tenk på flyene ACB og ADB. Åpenbart vil retningsvektoren n1¯ for ACB-planet være:
1¯=(0; 0; 1).
For å bestemme retningsvektoren n2¯ for ADB-planet, fortsett som følger: finn to vilkårlige vektorer som tilhører det, for eksempel AD¯ og AB¯, beregne deretter vektorarbeidet deres. Resultatet vil gi koordinatene n2¯. Vi har:
AD¯=D - A=(0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; h);
AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);
2¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0;-a2/2).
Siden multiplikasjon og divisjon av en vektor med et tall ikke endrer retning, transformerer vi den resulterende n2¯, og dividerer koordinatene med -a, får vi:
2¯=(h; 0; a/2).
Vi har definert vektorguider n1¯ og n2¯ for ACB-base- og ADB-sideplanene. Det gjenstår å bruke formelen for vinkelen φ:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|))=arccos (a / (2 × √h2 + a 2/4)).
Transformer det resulterende uttrykket og skriv det om slik:
φ=arccos (a / √(a2+ 4 × h2)).
Vi har fått formelen for den dihedriske vinkelen ved basen for en vanlig firkantet pyramide. Når du kjenner høyden på figuren og lengden på siden, kan du beregne vinkelen φ. For eksempel, for Cheops-pyramiden, hvis basisside er 230,4 meter, og den opprinnelige høyden var 146,5 meter, vil vinkelen φ være 51,8o.
Det er også mulig å bestemme den dihedriske vinkelen for en firkantet regulær pyramide ved hjelp av den geometriske metoden. For å gjøre dette er det tilstrekkelig å betrakte en rettvinklet trekant dannet av høyden h, halvparten av lengden av basen a/2 og apotemet til en likebenet trekant.
