Dihedriske vinkler til pyramiden og metoden for deres beregning

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sist endret: 2024-01-02 17:53

Typiske lineære parametere for enhver pyramide er lengden på sidene av basen, høyde, sidekanter og apotemer. Ikke desto mindre er det en annen egenskap som er forbundet med de bemerkede parametrene - dette er den dihedrale vinkelen. Vurder i artikkelen hva det er og hvordan du finner det.

romslig figurpyramide

Hver elev har en god ide om hva som står på spill når han hører ordet "pyramide". Den kan konstrueres geometrisk på følgende måte: velg en bestemt polygon, fiks deretter et punkt i rommet og koble det til hvert hjørne av polygonen. Den resulterende tredimensjonale figuren vil være en pyramide av en vilkårlig type. Polygonen som danner den kalles basen, og punktet som alle hjørnene er koblet til er toppen av figuren. Figuren nedenfor viser skjematisk en femkantet pyramide.

Det kan sees at overflaten ikke bare er dannet av en femkant, men også av fem trekanter. Generelt vil antallet av disse trekantene være lik antalletsider av en polygonal base.

Dihedriske vinkler på figuren

Når geometriske problemer vurderes på et plan, dannes enhver vinkel av to kryssende rette linjer, eller segmenter. I rommet legges dihedriske vinkler til disse lineære vinklene, dannet av skjæringspunktet mellom to plan.

Hvis den markerte definisjonen av en vinkel i rommet brukes på den aktuelle figuren, kan vi si at det er to typer dihedriske vinkler:

• Ved bunnen av pyramiden. Den er dannet av planet til basen og hvilken som helst av sideflatene (trekanten). Dette betyr at grunnvinklene til pyramiden er n, der n er antall sider i polygonet.
• Mellom sidene (trekanter). Antallet av disse dihedriske vinklene er også n stykker.

Merk at den første typen vurderte vinkler er bygget på kantene av basen, den andre typen - på sidekantene.

Hvordan beregner jeg vinklene til en pyramide?

Den lineære vinkelen til en dihedral vinkel er målet for sistnevnte. Det er ikke lett å beregne det, siden pyramidens flater, i motsetning til prismets flater, ikke krysser hverandre i rette vinkler i det generelle tilfellet. Det er mest pålitelig å beregne verdiene av dihedriske vinkler ved å bruke likningene til planet i generell form.

I tredimensjon alt rom er et plan gitt ved følgende uttrykk:

Ax + By + Cz + D=0

Hvor A, B, C, D er noen reelle tall. Det praktiske med denne ligningen er at de tre første markerte tallene er koordinatene til vektoren,som er vinkelrett på det gitte planet, dvs.:

n¯=[A; B; C]

Hvis koordinatene til tre punkter som tilhører planet er kjent, kan man ved å ta vektorproduktet av to vektorer bygget på disse punktene få koordinatene n¯. Vektoren n¯ kalles guiden for planet.

I henhold til definisjonen er den dihedrale vinkelen som dannes av skjæringspunktet mellom to plan lik den lineære vinkelen mellom retningsvektorene deres. Anta at vi har to plan hvis normalvektorer er like:

₁¯=[A₁; B₁; C₁];

₂¯=[A₂; B₂; C₂]

For å beregne vinkelen φ mellom dem, kan du bruke skalarproduktegenskapen, da blir den tilsvarende formelen:

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n₂¯|))

Eller i koordinatform:

φ=arccos(|A₁A₂+ B₁B ₂+ C₁C₂|/(√(A₁ 2 ^{+ B}12^+C12 ^)√(A22 ^{+ B}22+ C²₂)))

La oss vise hvordan du bruker metoden ovenfor for å beregne dihedriske vinkler når du løser geometriske problemer.

Vinkler på en vanlig firkantet pyramide

Anta at det er en vanlig pyramide, ved bunnen av denne er det en firkant med en side på 10 cm. Høyden på figuren er12 cm. Det er nødvendig å beregne hva de dihedriske vinklene er ved bunnen av pyramiden og for sidene.

Siden figuren gitt i oppgavens tilstand er riktig, det vil si at den har høy symmetri, er alle vinkler ved bunnen like med hverandre. Vinklene som dannes av sideflatene er også de samme. For å beregne de nødvendige dihedriske vinklene finner vi retningsvektorene for grunnflaten og to sideplan. Angi lengden på siden av basen med bokstaven a, og høyden h.

Bildet over viser en firkantet regulær pyramide. La oss skrive ut koordinatene til punktene A, B, C og D i samsvar med det angitte koordinatsystemet:

A(a/2; -a/2; 0);

B(a/2; a/2; 0);

C(-a/2; a/2; 0);

D(0; 0; h)

Nå finner vi retningsvektorene for basisplanene ABC og de to sidene ABD og BCD i samsvar med metoden beskrevet i avsnittet ovenfor:

For ABC:

AB¯=(0; a; 0); AC¯=(-a; a; 0); n₁¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a²)

For ABD:

AB¯=(0; a; 0); AD=(-a/2; a/2; h); n₂¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a²/2)

For BCD:

BC¯=(-a; 0; 0); BD=(-a/2; -a/2; h); n₃¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a²/2)

Nå gjenstår det å bruke den riktige formelen for vinkelen φ og erstatte side- og høydeverdiene fra problemsetningen:

Vinkel mellom ABC ogABD:

(n₁¯n₂¯)=a⁴/2; |n₁¯|=a²; |n₂¯|=a√(h² + a²/4);

φ=arccos(a⁴/2/(a²a√(h^{2+ a}2^{/4)))=arccos(a/(2√(h}2 ^{+ a}2 /4)))=67, 38^o

Vinkel mellom ABD og BDC:

(n₂¯n₃¯)=a⁴/4; |n₂¯|=a√(h² + a²/4); |n₃¯|=a√(h² + a²/4);

φ=arccos(a⁴/(4a²(h²+ a²/4))=arccos(a²/(4(h²+a 2^{/4)))=81, 49}o

Vi beregnet verdiene for vinklene som måtte finnes ut fra tilstanden til problemet. Formlene oppnådd for å løse problemet kan brukes til å bestemme de dihedriske vinklene til firkantede regulære pyramider med alle verdier av a og h.

Vinkler av en trekantet regulær pyramide

Figuren nedenfor viser en pyramide hvis base er en vanlig trekant. Det er kjent at den dihedriske vinkelen mellom sidene er rett. Det er nødvendig å beregne arealet av basen hvis det er kjent at høyden på figuren er 15 cm.

En dihedral vinkel lik 90^o er angitt som ABC i figuren. Du kan løse problemet ved å bruke metoden ovenfor, men i dette tilfellet vil vi gjøre det enklere. La oss betegne siden av trekanten a, høyden på figuren - h, apotemet - h_b og sidenribbe - b. Nå kan du skrive følgende formler:

S=1/2ah_b;

b²=h_b²+ a² /4;

b²=h² + a²/3

Siden de to sidetrekantene i pyramiden er like, er sidene AB og CB like og er bena til trekanten ABC. La oss angi lengden deres med x, deretter:

x=a/√2;

S=1/2ba/√2

Når vi likner arealene til sidetrekantene og erstatter apotemet med det tilsvarende uttrykket, har vi:

1/2ah_b=1/2ba/√2=>

h_b=b/√2;

b²=b ²/2 + a²/4=>

b=a/√2;

a²/2=h² + a²/3=>

a=h√6

Arealet til en likesidet trekant beregnes som følger:

S=√3/4a²=3√3/2h²

Erstatt høydeverdien fra tilstanden til problemet, vi får svaret: S=584, 567 cm².