En trekant er en polygon med tre sider (tre hjørner). Oftest er sidene betegnet med små bokstaver, tilsvarende de store bokstavene som angir motsatte hjørner. I denne artikkelen skal vi bli kjent med typene av disse geometriske formene, teoremet som bestemmer hva summen av vinklene til en trekant er.
Visninger etter vinkel
Følgende typer polygoner med tre toppunkter skilles:
- spissvinklet, der alle hjørner er skarpe;
- rektangulært, med én rett vinkel, mens sidene som danner den kalles ben, og siden som er plassert motsatt av den rette vinkelen kalles hypotenusen;
- stump når ett hjørne er stump;
- isosceles, der to sider er like, og de kalles laterale, og den tredje er basisen til trekanten;
- likesidet, med alle tre like sider.
Properties
De fremhever hovedegenskapene som er karakteristiske for hver type trekant:
- motsatt den større siden er det alltid en større vinkel, og omvendt;
- motstående sider av lik størrelse er like vinkler, og omvendt;
- enhver trekant har to spisse vinkler;
- et utvendig hjørne er større enn ethvert innvendig hjørne som ikke er ved siden av det;
- summen av to vinkler er alltid mindre enn 180 grader;
- ytre hjørne er lik summen av de to andre hjørnene som ikke krysser det.
Trekantsummen av vinkler teorem
Setningen sier at hvis du legger sammen alle vinklene til en gitt geometrisk figur, som befinner seg på det euklidiske planet, vil summen deres være 180 grader. La oss prøve å bevise denne teoremet.
La oss ha en vilkårlig trekant med hjørner av KMN.
Tegn gjennom toppunktet M en rett linje parallelt med den rette linjen KN (denne linjen kalles også den euklidiske rette linjen). Vi markerer punkt A på den på en slik måte at punktene K og A er plassert på hver sin side av den rette linjen MN. Vi får like vinkler AMN og KNM, som i likhet med interne ligger på tvers og dannes av sekanten MN sammen med rette linjer KN og MA, som er parallelle. Av dette følger det at summen av vinklene til trekanten som ligger ved toppunktene M og H er lik størrelsen på vinkelen KMA. Alle tre vinklene utgjør summen, som er lik summen av vinklene KMA og MKN. Siden disse vinklene er innvendig ensidig mhtparallelle rette linjer KN og MA med en sekant KM, summen deres er 180 grader. Teorem bevist.
Konsekvens
Følgende konsekvens følger av teoremet bevist ovenfor: enhver trekant har to spisse vinkler. For å bevise dette, la oss anta at en gitt geometrisk figur bare har en spiss vinkel. Det kan også antas at ingen av vinklene er spisse. I dette tilfellet må det være minst to vinkler som er lik eller større enn 90 grader. Men da vil summen av vinklene være større enn 180 grader. Men dette kan ikke være, for ifølge teoremet er summen av vinklene til en trekant 180 ° - ikke mer eller mindre. Dette var det som måtte bevises.
Eksteriør hjørneeiendom
Hva er summen av vinklene til en trekant som er ytre? Dette spørsmålet kan besvares på en av to måter. Den første er at det er nødvendig å finne summen av vinklene, som tas en ved hvert toppunkt, det vil si tre vinkler. Den andre innebærer at du må finne summen av alle seks vinklene ved toppunktene. La oss først ta for oss det første alternativet. Så trekanten inneholder seks ytre hjørner - to ved hvert toppunkt.
Hvert par har like vinkler fordi de er vertikale:
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
Dessuten er det kjent at den ytre vinkelen til en trekant er lik summen av to indre vinkler som ikke skjærer den. Derfor
∟1=∟A + ∟C, ∟2=∟A + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
Av dette viser det seg at summen av eksternehjørner, som tas ett ved hvert toppunkt, vil være lik:
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C).
Gitt at summen av vinklene er 180 grader, kan det hevdes at ∟A + ∟B + ∟C=180°. Og dette betyr at ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180°=360°. Hvis det andre alternativet brukes, vil summen av de seks vinklene være henholdsvis dobbelt så stor. Det vil si at summen av de ytre vinklene til trekanten vil være:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°.
Høyre trekant
Hva er summen av de spisse vinklene til en rettvinklet trekant? Svaret på dette spørsmålet, igjen, følger av teoremet, som sier at vinklene i en trekant summerer seg til 180 grader. Og vårt utsagn (egenskap) høres slik ut: i en rettvinklet trekant legger spisse vinkler opp til 90 grader. La oss bevise dens sannhet.
La oss få en trekant KMN, der ∟Н=90°. Det er nødvendig å bevise at ∟K + ∟M=90°.
Så, ifølge vinkelsumsetningen ∟К + ∟М + ∟Н=180°. Vår tilstand sier at ∟Н=90°. Så det viser seg, ∟K + ∟M + 90°=180°. Det vil si ∟K + ∟M=180° - 90°=90°. Det var det vi måtte bevise.
I tillegg til egenskapene ovenfor til en rettvinklet trekant, kan du legge til følgende:
- vinkler som ligger mot bena er skarpe;
- hypotenusen er mer trekantet enn noen av bena;
- summen av benene er større enn hypotenusen;
- legen trekant som ligger motsatt en vinkel på 30 grader er halvparten av hypotenusen, det vil si lik halvparten av den.
Som en annen egenskap ved denne geometriske figuren, kan Pythagoras teorem skilles ut. Hun opplyser at i en trekant med en vinkel på 90 grader (rektangulær) er summen av kvadratene på bena lik kvadratet på hypotenusen.
Summen av vinklene til en likebenet trekant
Tidligere sa vi at likebenet er en polygon med tre hjørner, som inneholder to like sider. Denne egenskapen til en gitt geometrisk figur er kjent: vinklene ved basen er like. La oss bevise det.
Ta trekanten KMN, som er likebenet, KN er basen.
Vi er pålagt å bevise at ∟К=∟Н. Så, la oss si at MA er halveringslinjen til trekanten vår KMN. MCA-trekanten, med tanke på det første tegn på likhet, er lik MCA-trekanten. Ved betingelse er det nemlig gitt at KM=NM, MA er en felles side, ∟1=∟2, siden MA er en halveringslinje. Ved å bruke det faktum at disse to trekantene er like, kan vi fastslå at ∟K=∟Н. Så teoremet er bevist.
Men vi er interessert i hva som er summen av vinklene til en trekant (likebenet). Siden den i så henseende ikke har sine egne særegenheter, vil vi ta utgangspunkt i teoremet som er vurdert tidligere. Det vil si at vi kan si at ∟K + ∟M + ∟H=180°, eller 2 x ∟K + ∟M=180° (siden ∟K=∟H). Vi vil ikke bevise denne egenskapen, siden selve trekantsumsteoremet ble bevist tidligere.
Unntatt som diskutertegenskaper om vinklene til en trekant, er det også slike viktige utsagn:
- i en likebenet trekant er høyden som ble senket til basen både medianen, halveringslinjen til vinkelen som er mellom like sider, samt symmetriaksen til basen;
- medianer (halveringslinjer, høyder) som er trukket til sidene av en slik geometrisk figur er like.
Equilateral trekant
Det kalles også rett, det er trekanten med alle sider like. Derfor er også vinklene like. Hver av dem er 60 grader. La oss bevise denne egenskapen.
Anta at vi har en trekant KMN. Vi vet at KM=NM=KN. Og dette betyr at i henhold til egenskapen til vinklene som ligger ved basen i en likebenet trekant, er ∟К=∟М=∟Н. Siden, ifølge teoremet, er summen av vinklene til en trekant ∟К + ∟М + ∟Н=180°, så er 3 x ∟К=180° eller ∟К=60°, ∟М=60°, ∟ Í=60°. Dermed er påstanden bevist.
Som du kan se av beviset ovenfor basert på teoremet, er summen av vinklene til en likesidet trekant, som summen av vinklene til alle andre trekanter, 180 grader. Det er ikke nødvendig å bevise denne teoremet igjen.
Det er også slike egenskaper som er karakteristiske for en likesidet trekant:
- median, halveringslinje, høyde i en slik geometrisk figur er de samme, og lengden deres beregnes som (a x √3): 2;
- hvis du beskriver en sirkel rundt en gitt polygon, vil dens radius væreer lik (a x √3): 3;
- hvis du skriver inn en sirkel i en likesidet trekant, vil dens radius være (a x √3): 6;
- arealet til denne geometriske figuren beregnes ved hjelp av formelen: (a2 x √3): 4.
Obt-vinklet trekant
I henhold til definisjonen av en stump trekant er en av vinklene mellom 90 og 180 grader. Men gitt at de to andre vinklene til denne geometriske figuren er spisse, kan vi konkludere med at de ikke overstiger 90 grader. Derfor fungerer trekantsummen av vinkler-setningen når man beregner summen av vinkler i en stump trekant. Det viser seg at vi trygt kan si, basert på det nevnte teoremet, at summen av vinklene til en stump trekant er 180 grader. Igjen, denne teoremet trenger ikke å bli bevist på nytt.
