Pythagoras teorem: kvadratet på hypotenusen er lik summen av bena i annen

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sist endret: 2023-12-17 05:37

Alle elever vet at kvadratet på hypotenusen alltid er lik summen av bena, som hver er kvadratisk. Dette utsagnet kalles Pythagoras teorem. Det er en av de mest kjente teoremene innen trigonometri og matematikk generelt. Vurder det mer detaljert.

Konseptet med en rettvinklet trekant

Før vi fortsetter med å vurdere Pythagoras teorem, der kvadratet av hypotenusen er lik summen av bena som er kvadratisk, bør vi vurdere konseptet og egenskapene til en rettvinklet trekant, som teoremet for er gyldig.

Triangel er en flat figur med tre vinkler og tre sider. En rettvinklet trekant, som navnet tilsier, har én rett vinkel, det vil si at denne vinkelen er 90o.

Fra de generelle egenskapene for alle trekanter er det kjent at summen av alle tre vinklene til denne figuren er 180^o, som betyr at for en rettvinklet trekant er summen av to vinkler som ikke er rette, er 180^o -90^o=90^o. Det siste faktum betyr at enhver vinkel i en rettvinklet trekant som ikke er en rett vinkel alltid vil være mindre enn 90^o.

Siden som ligger motsatt den rette vinkelen kalles hypotenusen. De to andre sidene er trekantens ben, de kan være like med hverandre, eller de kan være forskjellige. Det er kjent fra trigonometri at jo større vinkel en side ligger mot i en trekant, jo større er lengden på denne siden. Dette betyr at i en rettvinklet trekant vil hypotenusen (ligge motsatt vinkelen 90^o) alltid være større enn noen av bena (ligge motsatt vinkelen < 90^o).

Matematisk notasjon av Pythagoras teorem

Denne teoremet sier at kvadratet på hypotenusen er lik summen av benene, som hver tidligere er kvadratisk. For å skrive denne formuleringen matematisk, tenk på en rettvinklet trekant der sidene a, b og c er henholdsvis de to bena og hypotenusen. I dette tilfellet kan teoremet, som angis som kvadratet av hypotenusen er lik summen av kvadratene til bena, representeres med følgende formel: c²=a 2 ^{+ b} 2^{. Herfra kan andre formler som er viktige for praksis fås: a=√(c}2 ^{- b}2^{), b=√(c}) 2 ^{- a}2^{) og c=√(a}2 ^{+ b}2^).

Merk at når det gjelder en rettvinklet likesidet trekant, det vil si a=b, er formuleringen: kvadratet på hypotenusen er lik summen av benene, som hverkvadratisk, matematisk skrevet som: c²=a² + b²=2a ^{2, som innebærer likheten: c=a√2.}

Historisk bakgrunn

Pythagorean-setningen, som sier at kvadratet på hypotenusen er lik summen av bena, som hver er kvadratisk, var kjent lenge før den kjente greske filosofen ga oppmerksomhet til det. Mange papyrus fra det gamle Egypt, så vel som leirtavler fra babylonerne, bekrefter at disse folkene brukte den bemerkede egenskapen til sidene i en rettvinklet trekant. For eksempel ble en av de første egyptiske pyramidene, Pyramid of Khafre, hvis konstruksjon dateres tilbake til det 26. århundre f. Kr. (2000 år før Pythagoras liv), bygget basert på kunnskapen om sideforholdet i en 3x4x5 rettvinklet trekant.

Hvorfor er teoremet nå oppk alt etter en greker? Svaret er enkelt: Pythagoras er den første som matematisk beviser denne teoremet. Overlevende babylonske og egyptiske skrifter nevner bare bruken, men gir ikke noe matematisk bevis.

Det antas at Pythagoras beviste teoremet under vurdering ved å bruke egenskapene til lignende trekanter, som han oppnådde ved å tegne en høyde i en rettvinklet trekant fra vinkelen 90o til hypotenusen.

Et eksempel på bruk av Pythagoras teorem

Tenk på et enkelt problem: det er nødvendig å bestemme lengden på en skråtrapp L, hvis det er kjent at den har en høyde H=3meter, og avstanden fra veggen som stigen hviler mot til foten er P=2,5 meter.

I dette tilfellet er H og P bena, og L er hypotenusen. Siden lengden på hypotenusen er lik summen av kvadratene til beina, får vi: L²=H² + P 2^{, hvorfra L=√(H}2 ^{+ P}2^)=√(3 2 ^{+ 2, 5} 2^{)=3,905 meter eller 3 meter og 90,5 cm.}