Polyhedra tiltrakk seg oppmerksomheten til matematikere og vitenskapsmenn selv i antikken. Egypterne bygde pyramidene. Og grekerne studerte "vanlige polyeder". De kalles noen ganger platoniske faste stoffer. "Tradisjonelle polyeder" består av flate flater, rette kanter og hjørner. Men hovedspørsmålet har alltid vært hvilke regler disse separate delene må oppfylle, samt hvilke ytterligere globale betingelser som må oppfylles for at et objekt skal kvalifisere som et polyeder. Svaret på dette spørsmålet vil bli presentert i artikkelen.
Problemer i definisjon
Hva består denne figuren av? Et polyeder er en lukket solid form som har flate flater og rette kanter. Derfor kan det første problemet med definisjonen kalles nøyaktig sidene av figuren. Ikke alle ansikter som ligger i fly er alltid et tegn på et polyeder. La oss ta den "trekante sylinderen" som et eksempel. Hva består den av? En del av overflaten tre i parkryssende vertikale plan kan ikke betraktes som polygoner. Årsaken er at den ikke har noen topper. Overflaten til en slik figur er dannet på grunnlag av tre stråler som møtes på ett punkt.
Et problem til - fly. I tilfellet med den "trekante sylinderen" ligger den i deres ubegrensede deler. En figur anses som konveks hvis linjestykket som forbinder to punkter i settet også er i det. La oss presentere en av deres viktige egenskaper. For konvekse sett er det at settet med punkter som er felles for settet er det samme. Det er en annen type figurer. Disse er ikke-konvekse 2D-polyedre som enten har hakk eller hull.
former som ikke er polyeder
Et flatt sett med punkter kan være forskjellige (for eksempel ikke-konvekse) og ikke tilfredsstille den vanlige definisjonen av et polyeder. Selv gjennom den er den begrenset av seksjoner av linjer. Linjene til et konveks polyeder består av konvekse figurer. Denne tilnærmingen til definisjonen utelukker imidlertid en figur som går til det uendelige. Et eksempel på dette vil være tre stråler som ikke møtes på samme punkt. Men samtidig er de koblet til toppene til en annen figur. Tradisjonelt var det viktig for et polyeder at det består av flate flater. Men over tid utvidet konseptet seg, noe som førte til en betydelig forbedring i forståelsen av den opprinnelige "smalere" klassen av polyedre, samt fremveksten av en ny, bredere definisjon.
Riktig
La oss introdusere en definisjon til. Et vanlig polyeder er et hvor hvert ansikt er en kongruent regelmessigkonvekse polygoner, og alle toppunkter er "like". Dette betyr at hvert toppunkt har samme antall regulære polygoner. Bruk denne definisjonen. Så du kan finne fem vanlige polyedre.
Første trinn til Eulers teorem for polyeder
Grekerne visste om polygonet, som i dag kalles pentagrammet. Denne polygonen kan kalles regulær fordi alle sidene er like lange. Det er også en annen viktig merknad. Vinkelen mellom to påfølgende sider er alltid den samme. Men når det tegnes i et plan, definerer det ikke et konveks sett, og sidene av polyederet krysser hverandre. Dette var imidlertid ikke alltid tilfelle. Matematikere har lenge vurdert ideen om "ikke-konvekse" vanlige polyedre. Pentagrammet var en av dem. «Stjernepolygoner» var også tillatt. Flere nye eksempler på "vanlige polyeder" er oppdaget. Nå heter de Kepler-Poinsot polyeder. Senere utvidet G. S. M. Coxeter og Branko Grünbaum reglene og oppdaget andre "vanlige polyeder".
polyedral formel
Den systematiske studien av disse tallene begynte relativt tidlig i matematikkens historie. Leonhard Euler var den første som la merke til at en formel som relaterer antall hjørner, flater og kanter gjelder for konvekse 3D-polyedre.
Hun ser slik ut:
V + F - E=2, der V er antall polyedriske toppunkter, F er antall kanter til polyedrene, og E er antall flater.
Leonhard Euler er sveitsermatematiker som regnes som en av de største og mest produktive vitenskapsmennene gjennom tidene. Han har vært blind det meste av livet, men tapet av synet ga ham en grunn til å bli enda mer produktiv. Det er flere formler oppk alt etter ham, og den vi nettopp så på kalles noen ganger Euler-polyederformelen.
Det er én avklaring. Eulers formel fungerer imidlertid bare for polyedre som følger visse regler. De ligger i at formen ikke skal ha noen hull. Og det er uakseptabelt at den krysser seg selv. Et polyeder kan heller ikke bestå av to deler som er koblet sammen, for eksempel to terninger med samme toppunkt. Euler nevnte resultatet av sin forskning i et brev til Christian Goldbach i 1750. Senere publiserte han to artikler der han beskrev hvordan han prøvde å finne bevis for sin nye oppdagelse. Faktisk er det former som gir et annet svar på V + F - E. Svaret på summen F + V - E=X kalles Euler-karakteristikken. Hun har et annet aspekt. Noen former kan til og med ha en Euler-karakteristikk som er negativ
Graph Theory
Noen ganger hevdes det at Descartes utledet Eulers teorem tidligere. Selv om denne forskeren oppdaget fakta om tredimensjonale polyedre som ville tillate ham å utlede den ønskede formelen, tok han ikke dette ekstra trinnet. I dag er Euler kreditert med "faren" til grafteori. Han løste problemet med Konigsberg-broen ved å bruke ideene sine. Men forskeren så ikke på polyederet i sammenhenggrafteori. Euler prøvde å gi et bevis på en formel basert på dekomponering av et polyeder til enklere deler. Dette forsøket lever ikke opp til moderne standarder for bevis. Selv om Euler ikke ga den første riktige begrunnelsen for formelen sin, kan man ikke bevise formodninger som ikke er fremsatt. Resultatene, som ble underbygget senere, gjør det imidlertid mulig å bruke Eulers teorem også på nåværende tidspunkt. Det første beviset ble innhentet av matematikeren Adrian Marie Legendre.
Bevis for Eulers formel
Euler formulerte først den polyedriske formelen som en teorem om polyeder. I dag blir det ofte behandlet i den mer generelle sammenhengen med tilkoblede grafer. For eksempel som strukturer som består av punkter og linjestykker som forbinder dem, som er i samme del. Augustin Louis Cauchy var den første personen som fant denne viktige forbindelsen. Det fungerte som et bevis på Eulers teorem. Han la i hovedsak merke til at grafen til et konveks polyeder (eller det som i dag kalles slikt) er topologisk homeomorf til en sfære, har en plan sammenkoblet graf. Hva det er? En plan graf er en som er tegnet i planet på en slik måte at kantene møtes eller krysser bare ved et toppunkt. Det var her sammenhengen mellom Eulers teorem og grafer ble funnet.
En indikasjon på viktigheten av resultatet er at David Epstein var i stand til å samle inn sytten forskjellige bevis. Det er mange måter å rettferdiggjøre Eulers polyedriske formel på. På en måte er de mest åpenbare bevisene metoder som bruker matematisk induksjon. Resultatet kan bevisestegne den langs antall enten kanter, flater eller toppunkter på grafen.
Bevis for Rademacher og Toeplitz
Spesielt attraktivt er følgende bevis fra Rademacher og Toeplitz, basert på Von Staudts tilnærming. For å rettferdiggjøre Eulers teorem, anta at G er en sammenkoblet graf innebygd i et plan. Hvis den har skjemaer, er det mulig å ekskludere en kant fra hver av dem på en slik måte at egenskapen bevares at den forblir tilkoblet. Det er en en-til-en-korrespondanse mellom de fjernede delene for å gå til den tilkoblede grafen uten lukking og de som ikke er en uendelig kant. Denne forskningen førte til klassifiseringen av "orienterbare overflater" i form av den såk alte Euler-karakteristikken.
Jordan-kurve. Teorem
Hovedoppgaven, som direkte eller indirekte brukes i beviset for polyederformelen til Euler-setningen for grafer, avhenger av Jordan-kurven. Denne ideen er relatert til generalisering. Den sier at enhver enkel lukket kurve deler planet i tre sett: punkter på det, innenfor og utenfor det. Ettersom interessen for Eulers polyedriske formel utviklet seg på det nittende århundre, ble det gjort mange forsøk på å generalisere den. Denne forskningen la grunnlaget for utviklingen av algebraisk topologi og koblet den sammen med algebra og tallteori.
Moebius-gruppen
Det ble snart oppdaget at noen overflater bare kunne "orienteres" på en konsistent måte lok alt, ikke glob alt. Den velkjente Möbius-gruppen fungerer som en illustrasjon på slikeoverflater. Det ble oppdaget noe tidligere av Johann Listing. Dette konseptet inkluderer forestillingen om slekten til en graf: det minste antallet deskriptorer g. Det må legges til overflaten av kulen, og det kan legges inn på den utvidede overflaten på en slik måte at kantene kun møtes i hjørnene. Det viser seg at enhver orienterbar overflate i det euklidiske rom kan betraktes som en kule med et visst antall håndtak.
Euler-diagram
Vitenskapsmannen gjorde en annen oppdagelse, som fortsatt brukes i dag. Dette såk alte Euler-diagrammet er en grafisk representasjon av sirkler, vanligvis brukt for å illustrere forhold mellom sett eller grupper. Kartene inkluderer vanligvis farger som blander seg i områder der sirklene overlapper hverandre. Sett er representert nøyaktig med sirkler eller ovaler, selv om andre figurer også kan brukes til dem. En inkludering er representert ved en overlapping av ellipser k alt Euler-sirkler.
De representerer sett og delmengder. Unntaket er ikke-overlappende sirkler. Euler-diagrammer er nært beslektet med annen grafisk representasjon. De er ofte forvirret. Denne grafiske representasjonen kalles Venn-diagrammer. Avhengig av settene det gjelder, kan begge versjonene se like ut. Men i Venn-diagrammer indikerer overlappende sirkler ikke nødvendigvis fellesskap mellom sett, men bare et mulig logisk forhold hvis etikettene deres ikke er ikryssende sirkel. Begge alternativene ble tatt i bruk for undervisning i settteori som en del av den nye matematiske bevegelsen på 1960-tallet.
Fermat og Eulers teoremer
Euler satte et merkbart spor i matematisk vitenskap. Algebraisk tallteori ble beriket med et teorem oppk alt etter ham. Det er også en konsekvens av en annen viktig oppdagelse. Dette er den såk alte generelle algebraiske Lagrange-setningen. Eulers navn er også assosiert med Fermats lille teorem. Det står at hvis p er et primtall og a er et heltall som ikke er delelig med p, så:
ap-1 - 1 er delelig med p.
Noen ganger har samme oppdagelse et annet navn, som oftest finnes i utenlandsk litteratur. Det høres ut som Fermats juleteorem. Saken er at oppdagelsen ble kjent takket være et brev fra en vitenskapsmann sendt på tampen av 25. desember 1640. Men selve utsagnet har blitt møtt før. Den ble brukt av en annen vitenskapsmann ved navn Albert Girard. Fermat prøvde bare å bevise teorien sin. Forfatteren antyder i et annet brev at han var inspirert av metoden for uendelig nedstigning. Men han ga ingen bevis. Senere vendte også Eider seg til samme metode. Og etter ham - mange andre kjente forskere, inkludert Lagrange, Gauss og Minkosky.
Features of identities
Fermats lille teorem kalles også et spesi altilfelle av en teorem fra tallteori på grunn av Euler. I denne teorien teller Euler-identitetsfunksjonen positive heltall opp til et gitt heltall n. De er coprime mhtn. Eulers teorem i tallteori er skrevet med den greske bokstaven φ og ser ut som φ(n). Det kan mer formelt defineres som antall heltall k i området 1 ≦ k ≦ n der den største felles divisor gcd(n, k) er 1. Notasjon φ(n) kan også kalles Eulers phi-funksjon. Heltall k av denne formen kalles noen ganger total. I hjertet av tallteori er Euler-identitetsfunksjonen multiplikativ, noe som betyr at hvis to tall m og n er coprime, så er φ(mn)=φ(m)φ(n). Det spiller også en nøkkelrolle i å definere RSA-krypteringssystemet.
Euler-funksjonen ble introdusert i 1763. Men på den tiden valgte ikke matematikeren noe spesifikt symbol for den. I en publikasjon fra 1784 studerte Euler denne funksjonen mer detaljert og valgte den greske bokstaven π for å representere den. James Sylvester laget begrepet "total" for denne funksjonen. Derfor blir det også referert til som Eulers total. Den totale φ(n) av et positivt heltall n større enn 1 er antallet positive heltall mindre enn n som er relativt prime opp til n.φ(1) er definert som 1. Euler-funksjonen eller phi(φ)-funksjonen er en svært viktig tallteoretisk funksjon som er dypt knyttet til primtall og den såk alte heltallsrekkefølgen.
