Geometri er vakker fordi, i motsetning til algebra, hvor det ikke alltid er klart hva du tenker og hvorfor, gir det synlighet til objektet. Denne fantastiske verdenen av forskjellige kropper er dekorert med vanlige polyeder.
Generell informasjon om vanlige polyeder
Vanlige polyedre, eller som de også kalles platoniske faste stoffer, har i følge mange unike egenskaper. Flere vitenskapelige hypoteser er knyttet til disse objektene. Når du begynner å studere disse geometriske kroppene, forstår du at du praktisk t alt ikke vet noe om et slikt konsept som vanlige polyeder. Presentasjonen av disse gjenstandene på skolen er ikke alltid interessant, så mange husker ikke engang hva de heter. De fleste husker bare kuben. Ingen av kroppene i geometri er så perfekte som vanlige polyedre. Alle navnene på disse geometriske kroppene stammer fra antikkens Hellas. De betyr antall ansikter: tetraeder - firesidig, heksaeder - sekssidig, oktaeder - oktaeder, dodekaeder - tolvsidig, icosahedron - tjuesidig. Alle disse geometriske kroppeneinntok en viktig plass i Platons oppfatning av universet. Fire av dem personifiserte elementene eller enhetene: tetraederet - ild, icosahedron - vann, kuben - jord, oktaederet - luft. Dodekaederet legemliggjorde alt som eksisterer. Den ble ansett som den viktigste, fordi den var et symbol på universet.
Generalisering av begrepet et polyeder
Et polyeder er en samling av et begrenset antall polygoner slik at:
- hver av sidene til en av polygonene er samtidig siden til bare én annen polygon på samme side;
- fra hver av polygonene kan du komme til de andre ved å passere langs polygonene ved siden av.
Polygonene som utgjør et polyeder er dets ansikter, og sidene deres er kanter. Toppunktene til polyedrene er toppunktene til polygonene. Hvis begrepet en polygon forstås som flate lukkede stiplede linjer, kommer man frem til én definisjon av et polyeder. I tilfellet når dette konseptet betyr en del av planet som er begrenset av brutte linjer, bør en overflate som består av polygonale stykker forstås. Et konveks polyeder er en kropp som ligger på den ene siden av et plan ved siden av ansiktet.
En annen definisjon av et polyeder og dets elementer
Et polyeder er en overflate som består av polygoner som begrenser et geometrisk legeme. De er:
- ikke-konveks;
- konveks (riktig og feil).
Et vanlig polyeder er et konveks polyeder med maksimal symmetri. Elementer av vanlige polyeder:
- tetraeder: 6 kanter, 4 flater, 5 hjørner;
- hexahedron (kube): 12, 6, 8;
- dodekaeder: 30, 12, 20;
- oktaeder: 12, 8, 6;
- icosahedron: 30, 20, 12.
Eulers teorem
Det etablerer et forhold mellom antall kanter, toppunkter og flater som topologisk er ekvivalente med en kule. Ved å legge til antall topper og flater (B + D) til forskjellige vanlige polyedre og sammenligne dem med antall kanter, kan ett mønster etableres: summen av antall flater og topper er lik antall kanter (P) økt med 2. Du kan utlede en enkel formel:
B + D=R + 2
Denne formelen gjelder for alle konvekse polyedre.
Grunnleggende definisjoner
Begrepet et vanlig polyeder kan ikke beskrives i én setning. Det er mer meningsfylt og omfangsrikt. For at et organ skal bli anerkjent som sådan, må det oppfylle en rekke definisjoner. Så et geometrisk legeme vil være et vanlig polyeder hvis følgende betingelser er oppfylt:
- det er konveks;
- det samme antall kanter konvergerer ved hvert av hjørnene;
- alle ansiktene er vanlige polygoner, lik hverandre;
- alle dens dihedriske vinkler er like.
Egenskaper til vanlige polyeder
Det finnes 5 forskjellige typer vanlige polyedre:
- Terning (heksaeder) - den har en flat vinkel på toppen er 90°. Den har en 3-sidig vinkel. Summen av de flate vinklene på toppen er 270°.
- Tetraeder - flat vinkel på toppen - 60°. Den har en 3-sidig vinkel. Summen av flate vinkler på toppen er 180°.
- Octahedron - flat toppunktvinkel - 60°. Den har et 4-sidig hjørne. Summen av flate vinkler på toppen er 240°.
- Dodecahedron - flat vinkel ved toppunktet 108°. Den har en 3-sidig vinkel. Summen av flate vinkler på toppen er 324°.
- Icosahedron - den har en flat vinkel på toppen - 60°. Den har en 5-sidig vinkel. Summen av flate vinkler på toppen er 300°.
Area med vanlig polyeder
Overflatearealet til disse geometriske legemene (S) beregnes som arealet til en regulær polygon multiplisert med antall flater (G):
S=(a: 2) x 2G ctg π/p
Volumet til et vanlig polyeder
Denne verdien beregnes ved å multiplisere volumet til en regulær pyramide, ved bunnen av hvilken det er en regulær polygon, med antall flater, og dens høyde er radiusen til den innskrevne kulen (r):
V=1: 3rS
Volum av vanlige polyeder
Som alle andre geometriske kropper har vanlige polyedre forskjellige volumer. Nedenfor er formlene du kan beregne dem med:
- tetraeder: α x 3√2: 12;
- oktaeder: α x 3√2: 3;
- icosahedron; α x 3;
- hexahedron (kube): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- dodekaeder: α x 3 (15 + 7√5): 4.
Elementer av vanlige polyeder
Heksaeder og oktaeder er doble geometriske legemer. Med andre ord kan de oppnås fra hverandre hvis tyngdepunktet til ansiktet til den ene tas som toppunktet til den andre, og omvendt. Ikosaederet og dodekaederet er også doble. Bare tetraederet er dobbelt med seg selv. I følge Euklid-metoden kan du få et dodekaeder fra et sekskant ved å bygge "tak" på flatene til en kube. Toppunktene til et tetraeder vil være hvilke som helst 4 toppunkter i en terning som ikke er tilstøtende i par langs en kant. Fra sekskantet (kuben) kan du få andre vanlige polyedere. Til tross for at det finnes utallige regulære polygoner, er det bare 5 regulære polyedre.
Radius av vanlige polygoner
Det er 3 konsentriske kuler knyttet til hver av disse geometriske kroppene:
- beskrevet, passerer gjennom toppene;
- innskrevet, berører hver av ansiktene i midten;
- median, berører alle kanter i midten.
Radien til kulen som er beskrevet, beregnes ved hjelp av følgende formel:
R=a: 2 x tg π/g x tg θ: 2
Radien til en innskrevet sfære beregnes ved hjelp av formelen:
R=a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,
hvor θ er den dihedriske vinkelen mellom tilstøtende flater.
Radien til mediankulen kan beregnes ved å bruke følgende formel:
ρ=a cos π/p: 2 sin π/h,
hvor h-verdi=4, 6, 6, 10 eller 10. Forholdet mellom omskrevne og innskrevne radier er symmetrisk med hensyn til p og q. Denberegnet med formelen:
R/r=tg π/p x tg π/q
Symmetri of polyhedra
Symmetrien til vanlige polyedre forårsaker hovedinteressen for disse geometriske kroppene. Det forstås som en slik bevegelse av kroppen i rommet, som etterlater det samme antall hjørner, ansikter og kanter. Med andre ord, under påvirkning av en symmetritransformasjon, beholder en kant, toppunkt, flate enten sin opprinnelige posisjon eller flytter seg til den opprinnelige posisjonen til en annen kant, toppunkt eller flate.
Elementer av symmetri av vanlige polyedre er karakteristiske for alle typer slike geometriske legemer. Her snakker vi om en identisk transformasjon som etterlater et hvilket som helst av punktene i sin opprinnelige posisjon. Så når du roterer et polygon alt prisme, kan du få flere symmetrier. Enhver av dem kan representeres som et produkt av refleksjoner. En symmetri som er produktet av et jevnt antall refleksjoner kalles en rett linje. Hvis det er produktet av et oddetall av refleksjoner, kalles det invers. Dermed er alle rotasjoner rundt en linje direkte symmetri. Enhver refleksjon av et polyeder er en invers symmetri.
For bedre å forstå symmetrielementene til vanlige polyedere, kan vi ta eksemplet med et tetraeder. Enhver rett linje som vil passere gjennom en av toppunktene og midten av denne geometriske figuren vil også passere gjennom midten av ansiktet motsatt den. Hver av 120° og 240° svingene rundt linjen er flertall.symmetrien til tetraederet. Siden den har 4 hjørner og 4 flater, er det bare åtte direkte symmetrier. Enhver av linjene som går gjennom midten av kanten og midten av denne kroppen går gjennom midten av den motsatte kanten. Enhver 180° rotasjon, k alt en halv sving, rundt en rett linje er en symmetri. Siden tetraederet har tre par kanter, er det ytterligere tre direkte symmetrier. Basert på det foregående kan vi konkludere med at det totale antallet direkte symmetrier, inkludert den identiske transformasjonen, vil nå tolv. Tetraederet har ingen andre direkte symmetrier, men det har 12 inverse symmetrier. Derfor er tetraederet preget av tot alt 24 symmetrier. For klarhetens skyld kan du bygge en modell av et vanlig tetraeder av papp og sørge for at denne geometriske kroppen egentlig bare har 24 symmetrier.
Dodekaederet og ikosaederet er nærmest kroppens sfære. Ikosaederet har det største antallet ansikter, den største dihedriske vinkelen, og kan presses tettest mot en innskrevet kule. Dodekaederet har den minste vinkeldefekten, den største solidvinkelen ved toppunktet. Han kan fylle den beskrevne sfæren til det maksimale.
Sveip av polyeder
Vanlige uinnpakket polyeder, som vi alle limte sammen i barndommen, har mange konsepter. Hvis det er en samling av polygoner, hvor hver side er identifisert med bare én side av polyederet, må identifiseringen av sidene oppfylle to betingelser:
- fra hver polygon kan du gå over polygoner som haridentifisert side;
- identifiserte sider må ha samme lengde.
Det er settet med polygoner som tilfredsstiller disse betingelsene som kalles utviklingen av polyederet. Hver av disse organene har flere av dem. Så, for eksempel, en kube har 11 av dem.
