Et viktig begrep i matematikk er en funksjon. Med dens hjelp kan du visualisere mange prosesser som forekommer i naturen, reflektere forholdet mellom visse mengder ved å bruke formler, tabeller og bilder på en graf. Et eksempel er avhengigheten av trykket til et væskelag på en kropp på nedsenkingsdybden, akselerasjon - på virkningen av en viss kraft på et objekt, temperaturøkning - på den overførte energien og mange andre prosesser. Studiet av en funksjon innebærer konstruksjon av en graf, klargjøring av dens egenskaper, omfang og verdier, intervaller for økning og reduksjon. Et viktig poeng i denne prosessen er å finne ytterpunktene. Om hvordan du gjør det riktig, og samtalen vil fortsette.
Om selve konseptet i et spesifikt eksempel
I medisin kan plotting av en funksjonsgraf fortelle om utviklingen av en sykdom i en pasients kropp, visuelt gjenspeile tilstanden hans. La oss anta at tiden i dager er plottet langs OX-aksen, og temperaturen til menneskekroppen er plottet langs OY-aksen. Figuren viser tydelig hvordan denne indikatoren stiger kraftig, også faller det. Det er også lett å legge merke til enkeltstående punkter som gjenspeiler øyeblikkene når funksjonen, etter å ha økt tidligere, begynner å avta, og omvendt. Dette er ekstrempunktene, det vil si de kritiske verdiene (maksimum og minimum) i dette tilfellet av pasientens temperatur, hvoretter endringer i tilstanden hans oppstår.
Vippevinkel
Det er enkelt å bestemme ut fra figuren hvordan den deriverte av en funksjon endres. Hvis de rette linjene i grafen går opp over tid, er det positivt. Og jo brattere de er, jo større er verdien av den deriverte, ettersom helningsvinkelen øker. I perioder med nedgang tar denne verdien negative verdier, og blir null ved ekstreme punkter, og grafen til den deriverte i sistnevnte tilfelle tegnes parallelt med OX-aksen.
Enhver annen prosess bør behandles på samme måte. Men det beste med dette konseptet kan fortelle bevegelsen til ulike kropper, tydelig vist på grafene.
Movement
Anta at noen gjenstander beveger seg i en rett linje og øker hastigheten jevnt. I løpet av denne perioden representerer endringen i kroppens koordinater grafisk en viss kurve, som en matematiker vil kalle en gren av en parabel. Samtidig øker funksjonen stadig, siden koordinatindikatorene endres raskere og raskere for hvert sekund. Hastighetsgrafen viser oppførselen til den deriverte, hvis verdi også øker. Dette betyr at bevegelsen ikke har noen kritiske punkter.
Det ville ha fortsatt på ubestemt tid. Men hvis kroppen plutselig bestemmer seg for å bremse, stopp og begynn å bevege deg i en annenretning? I dette tilfellet vil koordinatindikatorene begynne å synke. Og funksjonen vil passere den kritiske verdien og snu fra økende til synkende.
I dette eksemplet kan du igjen forstå at ekstremumpunktene på funksjonsgrafen vises i de øyeblikkene den slutter å være monoton.
Derivertens fysiske betydning
Beskrevet tidligere viste tydelig at den deriverte i hovedsak er endringshastigheten til funksjonen. Denne foredlingen inneholder dens fysiske betydning. Ekstreme punkter er kritiske områder på kartet. Det er mulig å finne ut og oppdage dem ved å beregne verdien av den deriverte, som viser seg å være lik null.
Det er et annet tegn, som er en tilstrekkelig betingelse for et ekstremum. Den deriverte på slike bøyningssteder endrer fortegn: fra "+" til "-" i området maksimum og fra "-" til "+" i området minimum.
Bevegelse under påvirkning av tyngdekraften
La oss forestille oss en annen situasjon. Barna, som spilte ball, kastet den på en slik måte at den begynte å bevege seg på skrå mot horisonten. I det første øyeblikket var hastigheten til dette objektet størst, men under påvirkning av tyngdekraften begynte den å avta, og for hvert sekund med samme verdi, lik omtrent 9,8 m/s2. Dette er verdien av akselerasjonen som skjer under påvirkning av jordens tyngdekraft under fritt fall. På månen ville den vært omtrent seks ganger mindre.
Graffen som beskriver kroppens bevegelser er en parabel med grener,nedover. Hvordan finne ekstremumpunkter? I dette tilfellet er dette toppunktet til funksjonen, hvor hastigheten til kroppen (kulen) får en nullverdi. Den deriverte av funksjonen blir null. I dette tilfellet endres retningen, og dermed verdien av hastigheten, til det motsatte. Kroppen flyr ned for hvert sekund raskere og raskere, og akselererer like mye - 9,8 m/s2.
Andre deriverte
I det forrige tilfellet er grafen for hastighetsmodulen tegnet som en rett linje. Denne linjen er først rettet nedover, siden verdien av denne mengden stadig synker. Etter å ha nådd null på et av tidspunktene, begynner indikatorene for denne verdien å øke, og retningen til den grafiske representasjonen av hastighetsmodulen endres dramatisk. Linjen peker nå oppover.
Velocity, som er den tidsderiverte av koordinaten, har også et kritisk punkt. I denne regionen begynner funksjonen, i utgangspunktet avtagende, å øke. Dette er stedet for ekstremumpunktet til den deriverte av funksjonen. I dette tilfellet blir stigningstallet på tangenten null. Og akselerasjon, som er den andre deriverte av koordinaten med hensyn til tid, endrer fortegn fra "-" til "+". Og bevegelsen fra jevn sakte blir jevnt akselerert.
akselerasjonsdiagram
Vurder nå fire bilder. Hver av dem viser en graf over endringen over tid av en slik fysisk mengde som akselerasjon. Når det gjelder "A", forblir verdien positiv og konstant. Dette betyr at kroppens hastighet, i likhet med dens koordinat, stadig øker. Hvis enforestill deg at objektet vil bevege seg på denne måten i uendelig lang tid, vil funksjonen som reflekterer koordinatens avhengighet av tid vise seg å være konstant økende. Det følger av dette at det ikke har noen kritiske regioner. Det er heller ingen ekstremumpunkter på grafen til den deriverte, det vil si lineært skiftende hastighet.
Det samme gjelder tilfelle "B" med en positiv og stadig økende akselerasjon. Riktignok vil plottene for koordinater og hastighet være noe mer kompliserte her.
Når akselerasjonen har en tendens til null
Når du ser på bildet "B", kan du se et helt annet bilde som kjennetegner kroppens bevegelser. Hastigheten vil bli grafisk avbildet som en parabel med grener som peker nedover. Hvis vi fortsetter linjen som beskriver endringen i akselerasjon til den skjærer OX-aksen, og videre, så kan vi tenke oss at opp til denne kritiske verdien, hvor akselerasjonen viser seg å være lik null, vil hastigheten til objektet øke. mer og saktere. Ekstrempunktet til den deriverte av koordinatfunksjonen vil være akkurat på toppen av parablen, hvoretter kroppen vil radik alt endre bevegelsens natur og begynne å bevege seg i den andre retningen.
I sistnevnte tilfelle, "G", kan ikke bevegelsens art bestemmes nøyaktig. Her vet vi bare at det ikke er noen akselerasjon i en periode under vurdering. Dette betyr at objektet kan forbli på plass eller bevegelsen skjer med konstant hastighet.
Koordineringsoppgave
La oss gå videre til oppgaver som ofte finnes i studiet av algebra på skolen og tilbys forforberedelse til eksamen. Figuren under viser grafen til funksjonen. Det kreves å beregne summen av ekstremumpoeng.
La oss gjøre dette for y-aksen ved å bestemme koordinatene til kritiske områder der en endring i egenskapene til funksjonen observeres. Enkelt sagt finner vi verdiene langs x-aksen for bøyningspunktene, og fortsetter deretter med å legge til de resulterende leddene. I følge grafen er det åpenbart at de tar følgende verdier: -8; -7; -5; -3; -2; en; 3. Dette summerer seg til -21, som er svaret.
Optimal løsning
Det er ikke nødvendig å forklare hvor viktig valget av den optimale løsningen kan være i utførelsen av praktiske oppgaver. Tross alt er det mange måter å oppnå målet på, og den beste utveien er som regel bare én. Dette er ekstremt nødvendig, for eksempel når man designer skip, romfartøy og fly, arkitektoniske strukturer for å finne den optimale formen til disse menneskeskapte objektene.
Hastigheten til kjøretøy avhenger i stor grad av den kompetente minimeringen av motstanden de opplever når de beveger seg gjennom vann og luft, fra overbelastninger som oppstår under påvirkning av gravitasjonskrefter og mange andre indikatorer. Et skip til sjøs trenger slike egenskaper som stabilitet under storm, for et elveskip er et minimum dypgående viktig. Når du beregner den optimale designen, kan ekstremumpunktene på grafen visuelt gi en ide om den beste løsningen på et komplekst problem. Oppgaver av denne typen er ofteløses i økonomien, i økonomiske områder, i mange andre livssituasjoner.
Fra gammel historie
Ekstreme problemer opptok selv de gamle vismennene. Greske forskere klarte å avdekke mysteriet med områder og volumer gjennom matematiske beregninger. De var de første som forsto at på et plan med forskjellige figurer med samme omkrets, har sirkelen alltid det største arealet. På samme måte er en ball utstyrt med maksim alt volum blant andre objekter i rommet med samme overflateareal. Slike kjente personligheter som Arkimedes, Euklid, Aristoteles, Apollonius viet seg til å løse slike problemer. Heron lyktes veldig godt med å finne ekstreme punkter, som, etter å ha tydd til beregninger, bygde geniale enheter. Disse inkluderer automatiske maskiner som beveger seg ved hjelp av damp, pumper og turbiner som opererer etter samme prinsipp.
Bygging av Kartago
Det er en legende, hvis handling er basert på å løse et av de ekstreme problemene. Resultatet av forretningstilnærmingen demonstrert av den fønikiske prinsessen, som henvendte seg til vismennene for å få hjelp, var byggingen av Kartago. Tomten for denne eldgamle og berømte byen ble presentert til Dido (det var navnet på herskeren) av lederen for en av de afrikanske stammene. Området til tildelingen virket først ikke veldig stort for ham, siden det i henhold til kontrakten måtte dekkes med et okseskinn. Men prinsessen beordret soldatene sine til å kutte den i tynne strimler og lage et belte av dem. Den viste seg å være så lang at den dekket stedet,hvor hele byen passet inn.
Opprinnelsen til kalkulus
Og la oss nå gå fra eldgamle tider til en senere tid. Interessant nok ble Kepler på 1600-tallet bedt om å forstå grunnlaget for matematisk analyse ved et møte med en vinselger. Kjøpmannen var så godt bevandret i sitt yrke at han enkelt kunne bestemme volumet på drikken i fatet ved ganske enkelt å senke en jernpresse ned i den. Ved å reflektere over en slik nysgjerrighet klarte den berømte forskeren å løse dette dilemmaet for seg selv. Det viser seg at datidens dyktige bødkere fikk taket på å lage fartøyer på en slik måte at de ved en viss høyde og radius av omkretsen av festeringene ville ha maksimal kapasitet.
Dette var av Keplers grunn for videre refleksjon. Bochars kom til den optimale løsningen ved et langt søk, feil og nye forsøk, og ga erfaringene deres fra generasjon til generasjon. Men Kepler ønsket å fremskynde prosessen og lære å gjøre det samme på kort tid gjennom matematiske beregninger. All utviklingen hans, plukket opp av kolleger, ble til de nå kjente teoremene til Fermat og Newton - Leibniz.
Maksim alt arealproblem
La oss tenke oss at vi har en ledning med en lengde på 50 cm. Hvordan lage et rektangel av den med størst areal?
Når man starter en beslutning, bør man gå ut fra enkle og kjente sannheter. Det er klart at omkretsen av figuren vår vil være 50 cm. Den består også av to ganger lengden på begge sider. Dette betyr at etter å ha utpekt en av dem som "X", kan den andre uttrykkes som (25 - X).
Herfra får viet område lik X (25 - X). Dette uttrykket kan representeres som en funksjon som tar på seg mange verdier. Løsningen av problemet krever at du finner det maksimale av dem, noe som betyr at du bør finne ut ekstremumpunktene.
For å gjøre dette finner vi den første deriverte og likestiller den til null. Resultatet er en enkel ligning: 25 - 2X=0.
Av den lærer vi at en av sidene X=12, 5.
Derfor, en annen: 25 – 12, 5=12, 5.
Det viser seg at løsningen på problemet blir en firkant med en side på 12,5 cm.
Hvordan finner du maksimalhastigheten
La oss se på ett eksempel til. Tenk deg at det er en kropp hvis rettlinjede bevegelse er beskrevet av ligningen S=- t3 + 9t2 – 24t – 8, hvor avstanden tilbakelagt uttrykkes i meter, og tiden er i sekunder. Det kreves for å finne maksimal hastighet. Hvordan gjøre det? Nedlastet finn hastigheten, det vil si den første deriverte.
Vi får ligningen: V=- 3t2 + 18t – 24. Nå, for å løse problemet, må vi igjen finne ekstremumpunktene. Dette må gjøres på samme måte som i forrige oppgave. Finn den første deriverte av hastigheten og lig den med null.
Vi får: - 6t + 18=0. Derav t=3 s. Dette er tidspunktet da kroppens hastighet får en kritisk verdi. Vi erstatter de oppnådde dataene i hastighetsligningen og får: V=3 m/s.
Men hvordan skal man forstå at dette er nøyaktig maksimal hastighet, fordi de kritiske punktene til en funksjon kan være maksimums- eller minimumsverdiene? For å sjekke, må du finne et sekundavledet av hastighet. Det uttrykkes som tallet 6 med et minustegn. Dette betyr at det funnet punktet er maksimum. Og i tilfelle av en positiv verdi av den andre deriverte, vil det være et minimum. Så løsningen som ble funnet viste seg å være riktig.
Oppgavene gitt som eksempel er bare en del av de som kan løses ved å kunne finne ytterpunktene til en funksjon. Faktisk er det mange flere. Og slik kunnskap åpner for ubegrensede muligheter for menneskelig sivilisasjon.
