Menneskehetens fremgang skyldes i stor grad funnene gjort av genier. En av dem er Blaise Pascal. Hans kreative biografi bekrefter nok en gang sannheten i Lion Feuchtwangers uttrykk "En talentfull person, talentfull i alt." Alle de vitenskapelige prestasjonene til denne store vitenskapsmannen er vanskelig å telle. Blant dem er en av de mest elegante oppfinnelsene i matematikkens verden - Pascals trekant.
Noen ord om geni
Blaise Pascal døde tidlig etter moderne standarder, i en alder av 39. Imidlertid utmerket han seg i sitt korte liv som en fremragende fysiker, matematiker, filosof og forfatter. Takknemlige etterkommere k alte pressenheten og det populære programmeringsspråket Pascal til hans ære. Den har blitt brukt i nesten 60 år for å lære å skrive ulike koder. For eksempel, med dens hjelp, kan hver student skrive et program for å beregne arealet av en trekant i Pascal, samt utforske egenskapene til kretsen, ca.som vil bli diskutert nedenfor.
Aktiviteten til denne forskeren med ekstraordinær tenkning spenner over et bredt spekter av vitenskapsfelt. Spesielt er Blaise Pascal en av grunnleggerne av hydrostatikk, matematisk analyse, noen områder innen geometri og sannsynlighetsteori. Dessuten:
- laget en mekanisk kalkulator kjent som Pascal-hjulet;
- ga eksperimentelt bevis på at luft har elastisitet og vekt;
- etablert at et barometer kan brukes til å forutsi været;
- oppfant trillebåren;
- oppfant omnibus - hestevogner med faste ruter, som senere ble den første typen vanlig kollektivtransport osv.
Pascals aritmetiske trekant
Som allerede nevnt, ga denne store franske vitenskapsmannen et enormt bidrag til matematisk vitenskap. Et av hans absolutte vitenskapelige mesterverk er "Treatise on the Arithmetic Triangle", som består av binomiale koeffisienter ordnet i en bestemt rekkefølge. Egenskapene til dette opplegget er slående i sitt mangfold, og det bekrefter i seg selv ordtaket "Alt geni alt er enkelt!".
Litt av historien
For å være rettferdig må det sies at faktisk Pascals trekant var kjent i Europa allerede på begynnelsen av 1500-tallet. Spesielt kan bildet hans sees på forsiden av en aritmetisk lærebok av den berømte astronomen Peter Apian fra Universitetet i Ingolstadt. En lignende trekant er også vist som illustrasjon.i en bok av den kinesiske matematikeren Yang Hui, utgitt i 1303. Den bemerkelsesverdige persiske poeten og filosofen Omar Khayyam var også klar over egenskapene på begynnelsen av 1100-tallet. Dessuten antas det at han møtte ham fra avhandlingene til arabiske og indiske forskere skrevet tidligere.
Description
Før du utforsker de mest interessante egenskapene til Pascals trekant, vakker i sin perfeksjon og enkelhet, er det verdt å vite hva det er.
Vitenskapelig sett er dette numeriske skjemaet en endeløs trekantet tabell dannet av binomiale koeffisienter ordnet i en bestemt rekkefølge. På toppen og på sidene er tallene 1. De resterende posisjonene er okkupert av tall som er lik summen av de to tallene som ligger over dem ved siden av hverandre. Dessuten er alle linjene i Pascals trekant symmetriske om dens vertikale akse.
Grunnleggende funksjoner
Pascals trekant treffer med sin perfeksjon. For enhver linje nummerert n (n=0, 1, 2…) sant:
- første og siste tall er 1;
- andre og nest siste - n;
- det tredje tallet er lik det trekantede tallet (antall sirkler som kan ordnes i en likesidet trekant, dvs. 1, 3, 6, 10): T -1 =n (n - 1) / 2.
- Det fjerde tallet er tetraedrisk, dvs. det er en pyramide med en trekant ved bunnen.
I tillegg ble det relativt nylig, i 1972, etablert en annen eiendom i Pascals trekant. For hamfor å finne ut, må du skrive elementene i denne ordningen i form av en tabell med en radforskyvning med 2 posisjoner. Legg så merke til tallene som er delbare med linjenummeret. Det viser seg at nummeret på kolonnen der alle tallene er uthevet er et primtall.
Det samme trikset kan gjøres på en annen måte. For å gjøre dette, i Pascals trekant, erstattes tallene med restene av deres divisjon med radnummeret i tabellen. Deretter er linjene ordnet i den resulterende trekanten slik at den neste starter 2 kolonner til høyre fra det første elementet i den forrige. Da vil kolonnene med tall som er primtall kun bestå av nuller, og de med sammensatte tall vil inneholde minst én null.
Forbindelse med Newtons binomiale
Som du vet, er dette navnet på formelen for utvidelsen til en ikke-negativ heltallspotens av summen av to variabler, som ser slik ut:
Koeffisientene i dem er lik C m =n! / (m! (n - m)!), der m er ordenstallet i rad n i Pascals trekant. Med andre ord, med denne tabellen for hånden, kan du enkelt heve alle tall til en potens, etter å ha dekomponert dem i to ledd.
Dermed er Pascals trekant og Newtons binomiale nært beslektet.
Math Wonders
En nøye undersøkelse av Pascals trekant avslører at:
- summen av alle tall i linjen medserienummer n (teller fra 0) er 2;
- hvis linjene er venstrejusterte, er summene av tall som er plassert langs diagonalene til Pascals trekant, fra bunn til topp og fra venstre til høyre, lik Fibonacci-tall;
- den første "diagonalen" består av naturlige tall i rekkefølge;
- ethvert element fra Pascals trekant, redusert med én, er lik summen av alle tall som er plassert inne i parallellogrammet, som er begrenset av venstre og høyre diagonal som krysser dette tallet;
- i hver linje i diagrammet er summen av tall på partallsplasser lik summen av elementene på oddeplasser.
Sierpinski Triangle
Et slikt interessant matematisk opplegg, ganske lovende når det gjelder å løse komplekse problemer, oppnås ved å fargelegge partallene til Pascal-bildet i én farge, og oddetallene i en annen.
Sierpinski-trekanten kan bygges på en annen måte:
- i det skyggelagte Pascal-skjemaet er den midterste trekanten m alt på nytt i en annen farge, som dannes ved å koble sammen midtpunktene på sidene til den originale;
- gjør nøyaktig det samme med tre um alte i hjørnene;
- hvis prosedyren fortsetter på ubestemt tid, bør resultatet være en tofarget figur.
Den mest interessante egenskapen til Sierpinski-trekanten er dens selvlikhet, siden den består av 3 av kopiene, som er redusert med 2 ganger. Det tillater oss å tilskrive denne ordningen til fraktale kurver, og de, som vist av den sisteforskning er best egnet for matematisk modellering av skyer, planter, elvedeltaer og selve universet.
Flere interessante oppgaver
Hvor brukes Pascals trekant? Eksempler på oppgaver som kan løses med dens hjelp er ganske forskjellige og tilhører ulike vitenskapsfelt. La oss ta en titt på noen av de mer interessante.
Problem 1. En stor by omgitt av en festningsmur har bare én inngangsport. I det første krysset deler hovedveien seg i to. Det samme skjer på alle andre. 210 mennesker kommer inn i byen. I hvert av kryssene de møter, er de delt i to. Hvor mange personer vil bli funnet i hvert veikryss når det ikke lenger vil være mulig å dele. Svaret hennes er linje 10 i Pascals trekant (koeffisientformelen er presentert ovenfor), der tallene 210 er plassert på begge sider av den vertikale aksen.
Oppgave 2. Det er 7 navn på farger. Du må lage en bukett med 3 blomster. Det kreves å finne ut på hvor mange ulike måter dette kan gjøres. Dette problemet er fra feltet kombinatorikk. For å løse det bruker vi igjen Pascals trekant og kommer på 7. linje i tredje posisjon (nummerering i begge tilfeller fra 0) tallet 35.
Nå vet du hva den store franske filosofen og vitenskapsmannen Blaise Pascal fant opp. Den berømte trekanten kan, når den brukes riktig, bli en virkelig livredder for å løse mange problemer, spesielt fra feltenkombinatorikk. I tillegg kan den brukes til å løse en rekke mysterier knyttet til fraktaler.
