Sekunder, tangenter - alt dette kunne høres hundrevis av ganger i geometritimer. Men eksamen fra skolen er over, årene går, og all denne kunnskapen er glemt. Hva bør huskes?
Essence
Begrepet "tangens til en sirkel" er sikkert kjent for alle. Men det er usannsynlig at alle raskt vil kunne formulere definisjonen. I mellomtiden er en tangent en slik rett linje som ligger i samme plan med en sirkel som skjærer den i bare ett punkt. Det kan være et stort utvalg av dem, men de har alle de samme egenskapene, som vil bli diskutert nedenfor. Som du kanskje gjetter, er kontaktpunktet stedet der sirkelen og linjen krysser hverandre. I hvert tilfelle er det én, men hvis det er flere, blir det en sekant.
Historie om oppdagelser og studier
Konseptet med en tangent dukket opp i antikken. Konstruksjonen av disse rette linjene, først til en sirkel, og deretter til ellipser, paraboler og hyperbler ved hjelp av en linjal og et kompass, ble utført selv i de innledende stadiene av utviklingen av geometri. Historien har selvfølgelig ikke bevart navnet på oppdageren, mendet er åpenbart at selv på den tiden var folk ganske klar over egenskapene til tangenten til sirkelen.
I moderne tid blusset interessen for dette fenomenet opp igjen - en ny runde med å studere dette konseptet begynte, kombinert med oppdagelsen av nye kurver. Så Galileo introduserte konseptet med en cykloid, og Fermat og Descartes bygde en tangent til det. Når det gjelder kretsene, ser det ut til at det ikke er noen hemmeligheter igjen for de gamle i dette området.
Properties
Radien tegnet til skjæringspunktet vil være vinkelrett på linjen. Dette er
hovedegenskapen, men ikke den eneste, som en tangent til en sirkel har. En annen viktig funksjon inkluderer allerede to rette linjer. Så gjennom ett punkt som ligger utenfor sirkelen, kan to tangenter trekkes, mens segmentene deres vil være like. Det er et annet teorem om dette emnet, men det dekkes sjelden i rammen av et standard skolekurs, selv om det er ekstremt praktisk for å løse noen problemer. Det høres slik ut. Fra ett punkt utenfor sirkelen trekkes en tangent og en sekant til den. Segmentene AB, AC og AD dannes. A er skjæringspunktet mellom linjer, B er kontaktpunktet, C og D er skjæringspunktene. I dette tilfellet vil følgende likhet være gyldig: lengden på tangenten til sirkelen, opphøyd i annen, vil være lik produktet av segmentene AC og AD.
Fra ovenstående er det en viktig konsekvens. For hvert punkt i sirkelen kan du bygge en tangent, men bare en. Beviset på dette er ganske enkelt: ved å teoretisk slippe en perpendikulær fra radiusen på den, finner vi ut at den dannedetrekant kan ikke eksistere. Og dette betyr at tangenten er den eneste.
Bygning
Blant andre problemer innen geometri er det en spesiell kategori, som regel, ikke
elsket av elever og studenter. For å løse oppgaver fra denne kategorien trenger du bare et kompass og en linjal. Dette er byggeoppgaver. Det finnes også metoder for å konstruere en tangent.
Så, gitt en sirkel og et punkt som ligger utenfor grensene. Og det er nødvendig å tegne en tangent gjennom dem. Hvordan gjøre det? Først av alt må du tegne et segment mellom midten av sirkelen O og et gitt punkt. Deretter, bruk et kompass, del det i to. For å gjøre dette må du stille inn radiusen - litt mer enn halvparten av avstanden mellom midten av den opprinnelige sirkelen og det gitte punktet. Etter det må du bygge to kryssende buer. Dessuten trenger ikke radiusen til kompasset å endres, og midten av hver del av sirkelen vil være henholdsvis startpunktet og O. Skjæringspunktene til buene må kobles sammen, noe som vil dele segmentet i to. Sett en radius på kompasset lik denne avstanden. Deretter, med sentrum i skjæringspunktet, tegner du en annen sirkel. Både startpunktet og O vil ligge på det. I dette tilfellet vil det være ytterligere to skjæringer med sirkelen gitt i oppgaven. De vil være kontaktpunktene for det opprinnelig gitte punktet.
Interessant
Det var konstruksjonen av tangenter til sirkelen som førte til fødselen av
differensialregning. Det første arbeidet med dette emnet varutgitt av den kjente tyske matematikeren Leibniz. Han sørget for muligheten for å finne maksima, minima og tangenter, uavhengig av brøk- og irrasjonelle verdier. Vel, nå brukes den til mange andre beregninger også.
Dessuten er tangenten til sirkelen relatert til den geometriske betydningen av tangenten. Det er der navnet kommer fra. Oversatt fra latin betyr tangens "tangens". Dette konseptet henger altså ikke bare sammen med geometri og differensialregning, men også med trigonometri.
To kretser
Ikke alltid en tangent påvirker bare én form. Hvis et stort antall rette linjer kan trekkes til en sirkel, hvorfor ikke omvendt? Kan. Men oppgaven i dette tilfellet er alvorlig komplisert, fordi tangenten til to sirkler kanskje ikke passerer gjennom noen punkter, og den relative plasseringen av alle disse figurene kan være veldig
forskjellig.
Typer og varianter
Når det gjelder to sirkler og en eller flere linjer, selv om man vet at dette er tangenter, blir det ikke umiddelbart klart hvordan alle disse figurene er plassert i forhold til hverandre. Basert på dette er det flere varianter. Så sirkler kan ha ett eller to felles punkter eller ikke ha dem i det hele tatt. I det første tilfellet vil de krysse hverandre, og i det andre vil de berøre. Og her er det to varianter. Hvis en sirkel så å si er innebygd i den andre, kalles berøringen intern, hvis ikke, så ekstern. forstå gjensidigplasseringen av figurene er mulig ikke bare basert på tegningen, men også å ha informasjon om summen av deres radier og avstanden mellom sentrene deres. Hvis disse to mengdene er like, berører sirklene. Hvis den første er større, skjærer de seg, og hvis den er mindre, har de ikke fellespunkter.
Det samme med rette linjer. For to kretser som ikke har felles punkter, kan du
konstruer fire tangenter. To av dem vil krysse mellom figurene, de kalles interne. Et par andre er eksterne.
Hvis vi snakker om sirkler som har ett felles poeng, så er oppgaven veldig forenklet. Faktum er at for enhver gjensidig ordning i dette tilfellet, vil de bare ha en tangent. Og den vil passere gjennom skjæringspunktet deres. Så konstruksjonen av vanskeligheten vil ikke forårsake.
Hvis figurene har to skjæringspunkter, kan det konstrueres en rett linje for dem som tangerer sirkelen, både den ene og den andre, men bare den ytre. Løsningen på dette problemet ligner det som vil bli diskutert nedenfor.
Problemløsning
Både indre og ytre tangenter til to sirkler er ikke så enkle å konstruere, selv om dette problemet kan løses. Faktum er at det brukes en hjelpefigur til dette, så tenk på denne metoden selv
ganske problematisk. Så gitt to sirkler med forskjellige radier og sentre O1 og O2. For dem må du bygge to par tangenter.
Først av alt, nær midten av den størresirkler må bygges hjelpemidler. I dette tilfellet må forskjellen mellom radiene til de to innledende figurene fastsettes på kompasset. Tangenter til hjelpesirkelen bygges fra midten av den mindre sirkelen. Etter det, fra O1 og O2, tegnes perpendikulære til disse linjene til de krysser de originale figurene. Som følger av hovedegenskapen til tangenten, blir de ønskede punktene på begge sirkler funnet. Problem løst, i hvert fall den første delen av det.
For å konstruere interne tangenter, må du løse praktisk
en lignende oppgave. Igjen er det nødvendig med en hjelpefigur, men denne gangen vil radiusen være lik summen av de opprinnelige. Tangenter er konstruert til den fra midten av en av de gitte sirklene. Løsningens videre forløp kan forstås fra forrige eksempel.
Tangent til en sirkel eller til og med to eller flere er ikke en så vanskelig oppgave. Selvfølgelig har matematikere lenge sluttet å løse slike problemer manuelt og stoler på beregningene til spesielle programmer. Men ikke tro at nå er det ikke nødvendig å kunne gjøre det selv, for for å formulere en oppgave for en datamaskin riktig, må du gjøre og forstå mye. Dessverre er det frykt for at byggeoppgaver etter den endelige overgangen til testformen kunnskapskontroll vil medføre stadig flere vanskeligheter for elevene.
Når det gjelder å finne felles tangenter for flere sirkler, er det ikke alltid mulig, selv om de ligger i samme plan. Men i noen tilfeller kan du finne en slik rett linje.
Livseksempler
En felles tangent til to sirkler møter man ofte i praksis, selv om den ikke alltid er merkbar. Transportører, blokksystemer, remskiver, trådspenning i en symaskin, og til og med bare en sykkelkjede - alt dette er eksempler fra livet. Så ikke tro at geometriske problemer bare forblir i teorien: innen ingeniørfag, fysikk, konstruksjon og mange andre områder finner de praktiske anvendelser.
