Leonhard Euler (1707-1783) - kjent sveitsisk og russisk matematiker, medlem av St. Petersburgs vitenskapsakademi, bodde det meste av livet i Russland. Den mest kjente innen matematisk analyse, statistikk, informatikk og logikk er Euler-sirkelen (Euler-Venn-diagram), som brukes til å betegne omfanget av begreper og sett med elementer.
John Venn (1834-1923) - engelsk filosof og logiker, medforfatter av Euler-Venn-diagrammet.
Kompatible og inkompatible konsepter
Under begrepet i logikk betyr en form for tenkning som gjenspeiler de essensielle egenskapene til en klasse av homogene objekter. De er merket med ett eller en gruppe ord: «verdenskart», «dominerende femte-sjuende akkord», «mandag» osv.
I det tilfellet når elementene i omfanget av ett konsept helt eller delvis tilhører omfanget av et annet, snakker man om kompatible konsepter. Hvis imidlertid ingen del av omfanget av et bestemt konsept tilhører omfanget av et annet, har vi inkompatible konsepter.
I sin tur har hver type konsept sitt eget sett med mulige relasjoner. For kompatible konsepter er disse:
- identitet (ekvivalens) av volumer;
- crossing (delvis kamp)bind;
- underordning (underordning).
For inkompatibel:
- underordning (koordinering);
- motsatt (kontraalitet);
- contradiction (contradiction).
Skjematisk er relasjoner mellom konsepter i logikk vanligvis angitt ved bruk av Euler-Venn-sirkler.
Ekvivalente relasjoner
I dette tilfellet betyr begrepene samme emne. Følgelig er volumene av disse konseptene helt de samme. For eksempel:
A - Sigmund Freud;
B er grunnleggeren av psykoanalysen.
Eller:
A er en firkant;
B er et likesidet rektangel;
C er en likekantet rombe.
Fullstendig sammenfallende Euler-sirkler brukes for betegnelse.
Intersection (delvis match)
Denne kategorien inkluderer konsepter som har felles elementer som er i forhold til kryssing. Det vil si at volumet til ett av konseptene er delvis inkludert i volumet til det andre:
A - lærer;
B er en musikkelsker.
Som det fremgår av dette eksemplet, er volumene av begreper delvis sammenfallende: en viss gruppe lærere kan vise seg å være musikkelskere, og omvendt - det kan være representanter for læreryrket blant musikkelskere. En lignende holdning vil være i tilfellet når konsept A for eksempel er en "borger", og B er en "sjåfør".
Underordning (underordning)
Skjematisk betegnet som Euler-sirkler med forskjellige skalaer. Relasjonermellom begreper i dette tilfellet er preget av at det underordnede begrepet (mindre i volum) er fullstendig inkludert i det underordnede (større i volum). Samtidig uttømmer ikke det underordnede konseptet helt det underordnede.
For eksempel:
A - tre;
B - furu.
Konsept B vil være underordnet konsept A. Siden furu tilhører trær, blir konsept A i dette eksemplet underordnet, og "absorberer" omfanget av konsept B.
Koordinering (koordinering)
Relasjon karakteriserer to eller flere begreper som utelukker hverandre, men som tilhører en viss felles generisk krets. For eksempel:
A – klarinett;
B - gitar;
C - fiolin;
D er et musikkinstrument.
Begrepene A, B, C er ikke kryssende i forhold til hverandre, men de tilhører alle kategorien musikkinstrumenter (begrepet D).
Opposite (motsatt)
Motsatte forhold mellom begreper innebærer at disse begrepene tilhører samme slekt. Samtidig har ett av konseptene visse egenskaper (trekk), mens det andre fornekter dem, og erstatter dem med motsatte i naturen. Vi har altså å gjøre med antonymer. For eksempel:
A er en dverg;
B er en gigant.
Eulersirkel med motsatte relasjoner mellom begreperer delt inn i tre segmenter, hvorav det første tilsvarer konsept A, det andre til konsept B og det tredje til alle andre mulige konsepter.
Contradiction (contradiction)
I dette tilfellet er begge konseptene arter av samme slekt. Som i det forrige eksemplet indikerer ett av konseptene visse kvaliteter (trekk), mens det andre benekter dem. Men i motsetning til forholdet mellom motsetninger, erstatter ikke det andre, motsatte konseptet de fornektede egenskapene med andre, alternative. For eksempel:
A er en vanskelig oppgave;
B er en enkel oppgave (ikke-A).
Uttrykker volumet av begreper av denne typen, Euler-sirkelen er delt i to deler - den tredje, mellomledd i dette tilfellet eksisterer ikke. Dermed er begrepene også antonymer. Samtidig blir en av dem (A) positiv (bekrefter en funksjon), og den andre (B eller ikke-A) blir negativ (negrer den tilsvarende funksjonen): "hvitt papir" - "ikke hvitt papir", " nasjonal historie» – «utenlandsk historie» osv.
Dermed er forholdet mellom volumene av konsepter i forhold til hverandre en nøkkelkarakteristikk som definerer Euler-sirkler.
Relasjoner mellom sett
Det er også nødvendig å skille mellom begrepene elementer og sett, hvis volumet vises av Euler-sirkler. Konseptet med et sett er lånt fra matematisk vitenskap og har en ganske bred betydning. Eksempler innen logikk og matematikk viser det som et bestemt sett med objekter. Gjenstandene i seg selv erelementer i dette settet. "Mange er mange tenkt som en" (Georg Kantor, grunnlegger av mengdlære).
Setn er betegnet med store bokstaver: A, B, C, D… osv., elementer av sett er angitt med små bokstaver: a, b, c, d… etc. Eksempler på et sett kan være elever som er i ett klasserom, bøker på en bestemt hylle (eller for eksempel alle bøkene i et bestemt bibliotek), sider i en dagbok, bær i en skoglysning osv.
På sin side, hvis et bestemt sett ikke inneholder et enkelt element, kalles det tomt og betegnes med tegnet Ø. For eksempel settet med skjæringspunkter for parallelle linjer, settet med løsninger til ligningen x2=-5.
Problemløsning
Euler-sirkler brukes aktivt til å løse et stort antall problemer. Eksempler innen logikk demonstrerer tydelig sammenhengen mellom logiske operasjoner og settteori. I dette tilfellet brukes sannhetstabeller med begreper. For eksempel representerer sirkelen merket A sannhetsområdet. Så området utenfor sirkelen vil representere usant. For å bestemme arealet av diagrammet for en logisk operasjon, bør du skyggelegge områdene som definerer Euler-sirkelen, der verdiene for elementene A og B vil være sanne.
Bruken av Euler-sirkler har fått bred praktisk anvendelse i ulike bransjer. For eksempel i en situasjon med et profesjonelt valg. Hvis forsøkspersonen er bekymret for valg av fremtidig yrke, kan han la seg veilede av følgende kriterier:
W – hva liker jeg å gjøre?
D – hva gjør jeg?
P– hvordan kan jeg tjene gode penger?
La oss tegne dette som et diagram: Euler-sirkler (eksempler i logikk - skjæringsrelasjon):
Resultatet vil være de yrkene som vil være i skjæringspunktet mellom alle tre sirkler.
Euler-Venn-sirkler opptar en egen plass i matematikk (mengdelære) ved beregning av kombinasjoner og egenskaper. Euler-sirklene til settet med elementer er omsluttet av bildet av et rektangel som angir det universelle settet (U). I stedet for sirkler kan også andre lukkede figurer brukes, men essensen av dette endres ikke. Figurene krysser hverandre, i henhold til betingelsene for problemet (i det mest generelle tilfellet). Disse tallene bør også merkes tilsvarende. Elementene i settene som vurderes kan være punkter plassert inne i forskjellige segmenter av diagrammet. Basert på den kan du skyggelegge spesifikke områder, og dermed utpeke de nyopprettede settene.
Med disse settene er det mulig å utføre grunnleggende matematiske operasjoner: addisjon (summen av sett med elementer), subtraksjon (forskjell), multiplikasjon (produkt). I tillegg, takket være Euler-Venn-diagrammene, er det mulig å sammenligne sett med antall elementer inkludert i dem, uten å telle dem.
