Innskrevet firkant i en sirkel. Firkant ABCD er innskrevet i en sirkel

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sist endret: 2024-01-02 17:53

Med inndelingen av matematikk i algebra og geometri, blir undervisningsstoffet vanskeligere. Nye figurer og deres spesielle tilfeller dukker opp. For å forstå materialet godt, er det nødvendig å studere begrepene, egenskapene til objekter og relaterte teoremer.

Generelle konsepter

En firkant betyr en geometrisk figur. Den består av 4 punkter. Dessuten er 3 av dem ikke plassert på samme rette linje. Det er segmenter som kobler de angitte punktene i serie.

Alle firkanter studert i skolegeometrikurset er vist i følgende diagram. Konklusjon: ethvert objekt fra den presenterte figuren har egenskapene til den forrige figuren.

En firkant kan være av følgende typer:

Parallelogram. Parallellen til de motsatte sidene er bevist av de tilsvarende teoremene.
Trapes. En firkant med parallelle baser. De to andre partiene er ikke det.
Rektangel. En figur som har alle 4 hjørner=90º.
Rhombus. En figur med alle sider like.
Square. Kombinerer egenskapene til de to siste figurene. Den har alle sider like og alle vinkler er rette.

Hoveddefinisjonen av dette emnet er en firkant innskrevet i en sirkel. Den består av følgende. Dette er en figur som en sirkel er beskrevet rundt. Den må passere gjennom alle hjørner. De indre vinklene til en firkant innskrevet i en sirkel summerer seg til 360º.

Ikke alle firkanter kan skrives inn. Dette skyldes det faktum at de vinkelrette halveringslinjene på de 4 sidene kanskje ikke krysser hverandre på ett punkt. Dette vil gjøre det umulig å finne midten av en sirkel som omgir en 4-gon.

Spesialsaker

Det finnes unntak fra hver regel. Så i dette emnet er det også spesielle tilfeller:

Et parallellogram kan som sådan ikke skrives inn i en sirkel. Bare hans spesielle tilfelle. Det er et rektangel.
Hvis alle toppunktene til en rombe er på den omskrivende linjen, er det en firkant.
Alle toppunktene i trapesen er på grensen til sirkelen. I dette tilfellet snakker de om en likebenet figur.

Egenskaper til en innskrevet firkant i en sirkel

Før du løser enkle og komplekse problemer om et gitt emne, må du bekrefte kunnskapen din. Uten å studere undervisningsmaterialet er det umulig å løse et enkelt eksempel.

Setning 1

Summen av de motsatte vinklene til en firkant innskrevet i en sirkel er 180º.

egenskapene til en innskrevet firkant i en sirkel

Proof

Gi: firkant ABCD er innskrevet i en sirkel. Midtpunktet er punkt O. Vi må bevise at _<A + _<C=180º og _< B + _<D=180º.

Må vurdere de presenterte tallene.

_{<A er innskrevet i en sirkel sentrert ved punktet O. Den måles gjennom ½ BCD (halv bue).}

_{<C er skrevet inn i samme sirkel. Den måles gjennom ½ BAD (halvbue).}
BAD og BCD danner en hel sirkel, dvs. deres størrelse er 360º.

_<A + _{<C er lik halvparten av summen av halvbuene som er representert.}

Derav _<A + _{<C=360º / 2=180º.}

vinklene til en firkant innskrevet i en sirkel

På lignende måte er beviset for _<B og _{<D. Det finnes imidlertid en annen løsning på problemet.}

Det er kjent at summen av de indre vinklene til en firkant er 360º.

Fordi _<A + _<C=180º. Følgelig, _<B + _{<D=360º – 180º=180º.}

Teorem 2

(Det kalles ofte invers) Hvis i en firkant _<A + _<C=180º og _{<B +} <_{D=180º (hvis de er motsatte), så kan en sirkel beskrives rundt en slik figur.}

Proof

Summen av motsatte vinkler av firkant ABCD lik 180º er gitt. _<A + _<C=180º, _<B +_{<D=180º. Vi må bevise at en sirkel kan omskrives rundt ABCD.}

Fra geometrikurset er det kjent at en sirkel kan tegnes gjennom 3 punkter av en firkant. Du kan for eksempel bruke punktene A, B, C. Hvor vil punkt D ligge? Det er 3 gjetninger:

Hun havner inne i sirkelen. I dette tilfellet berører ikke D linjen.
Utenfor sirkelen. Hun går langt utenfor den skisserte linjen.
Det viser seg på en sirkel.

Det bør antas at D er innenfor sirkelen. Plasseringen til det angitte toppunktet er okkupert av D´. Det viser seg at firkant ABCD´.

Resultatet er:_<B + _<D´=2d.

Hvis vi fortsetter AD´ til skjæringspunktet med den eksisterende sirkelen sentrert i punkt E og forbinder E og C, får vi en innskrevet firkant ABCE. Fra det første teoremet følger likheten:

I henhold til geometriens lover er uttrykket ikke gyldig fordi _<D´ er det ytre hjørnet av trekanten CD´E. Følgelig bør den være mer enn _{<E. Av dette kan vi konkludere at D enten må være på sirkelen eller utenfor den.}

Tilsvarende kan den tredje antagelsen bevises feil når D´´ går utenfor grensen til den beskrevne figuren.

Fra to hypoteser følger den eneste riktige. Toppunkt D er plassert på sirkellinjen. D er med andre ord sammenfallende med E. Det følger at alle punkter på firkanten er plassert på den beskrevne linjen.

Fra disseto teoremer, følgene følger:

Hvert rektangel kan skrives inn i en sirkel. Det er en annen konsekvens. En sirkel kan omskrives rundt et hvilket som helst rektangel

Trapes med like hofter kan skrives inn i en sirkel. Med andre ord høres det slik ut: en sirkel kan beskrives rundt en trapes med like kanter

Flere eksempler

Oppgave 1. Firkant ABCD er innskrevet i en sirkel. _<ABC=105º, _<CAD=35º. Trenger å finne _{<ABD. Svaret må skrives i grader.}

Beslutning. Til å begynne med kan det virke vanskelig å finne svaret.

1. Du må huske egenskapene fra dette emnet. Nemlig: summen av motsatte vinkler=180º.

_<ADC=180º – _{<ABC=180º – 105º=75º}

I geometri er det bedre å holde seg til prinsippet: finn alt du kan. Nyttig senere.

2. Neste trinn: bruk trekantsumsteoremet.

_<ACD=180º – _<CAD – _{<ADC=180º – 35º – 75º=70º}

_<ABD og _{<ACD er innskrevet. Etter betingelse er de avhengige av én bue. Følgelig har de like verdier:}

_<ABD=_<ACD=70º

Svar: _<ABD=70º.

Oppgave 2. BCDE er en innskrevet firkant i en sirkel. _<B=69º, _<C=84º. Sentrum av sirkelen er punkt E. Finn - _<E.

Beslutning.

Need to find _{<E av teorem 1.}

_<E=180º – _{<C=180º – 84º=96º}

Svar: _{< E=96º.}

Oppgave 3. Gitt en firkant innskrevet i en sirkel. Dataene er vist i figuren. Det er nødvendig å finne ukjente verdier x, y, z.

Løsning:

z=180º – 93º=87º (ved teorem 1)

x=½(58º + 106º)=82º

y=180º – 82º=98º (av teorem 1)

Svar: z=87º, x=82º, y=98º.

Oppgave 4. Det er en firkant innskrevet i en sirkel. Verdiene er vist i figuren. Finn x, y.

Løsning:

x=180º – 80º=100º

y=180º – 71º=109º

Svar: x=100º, y=109º.

Problemer for uavhengig løsning

Eksempel 1. Gitt en sirkel. Senteret er punkt O. AC og BD er diametre. _<ACB=38º. Trenger å finne _{<AOD. Svar må gis i grader.}

Eksempel 2. Gitt en firkant ABCD og en sirkel omskrevet rundt den. _<ABC=110º, _<ABD=70º. Finn _{<CAD. Skriv svaret ditt i grader.}

Eksempel 3. Gitt en sirkel og en innskrevet firkant ABCD. De to vinklene er 82º og58º. Du må finne den største av de resterende vinklene og skrive ned svaret i grader.

Eksempel 4. Firkant ABCD er gitt. Vinklene A, B, C er gitt i forholdet 1:2:3. Det er nødvendig å finne vinkelen D hvis den angitte firkanten kan skrives inn i en sirkel. Svar må gis i grader.

Eksempel 5. Firkant ABCD er gitt. Sidene danner buer av den omskrevne sirkelen. Gradverdiene AB, BC, CD og AD er henholdsvis: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Du bør finne _{<Fra den gitte firkanten og skrive ned svaret i grader.}