I dagens verden bruker vi i økende grad en rekke biler og dingser. Og ikke bare når det er nødvendig å bruke bokstavelig t alt umenneskelig styrke: flytt lasten, løft den til en høyde, grav en lang og dyp grøft, etc. Biler i dag settes sammen av roboter, mat tilberedes av multikokere, og elementære aritmetiske beregninger er utført av kalkulatorer. Stadig oftere hører vi uttrykket «boolsk algebra». Kanskje det er på tide å forstå menneskets rolle i å skape roboter og maskinenes evne til å løse ikke bare matematiske, men også logiske problemer.
Logic
Oversatt fra gresk er logikk et ordnet tenkningssystem som skaper relasjoner mellom gitte forhold og lar deg trekke konklusjoner basert på premisser og antakelser. Ganske ofte spør vi hverandre: "Er det logisk?" Det mottatte svaret bekrefter våre antakelser eller kritiserer tankegangen. Men prosessen stopper ikke: vi fortsetter å resonnere.
Noen ganger er antallet tilstander (innledende) så stort, og relasjonene mellom dem er så intrikate og komplekse at den menneskelige hjernen ikke er i stand til å "fordøye" alt på en gang. Det kan ta mer enn én måned (uke, år) å forstå hva som skjer. MenDet moderne livet gir oss ikke slike tidsintervaller for å ta avgjørelser. Og vi tyr til hjelp av datamaskiner. Og det er her logikkens algebra dukker opp, med sine egne lover og egenskaper. Ved å laste ned alle de første dataene lar vi datamaskinen gjenkjenne alle sammenhengene, eliminere motsetninger og finne en tilfredsstillende løsning.
Matte og logikk
Den berømte Gottfried Wilhelm Leibniz formulerte konseptet "matematisk logikk", hvis problemer bare var forståelige for en smal krets av vitenskapsmenn. Denne retningen vakte ikke særlig interesse, og frem til midten av 1800-tallet var det få som kjente til matematisk logikk.
Stor interesse for det vitenskapelige miljøet forårsaket en tvist der engelskmannen George Boole kunngjorde sin intensjon om å lage en gren av matematikk som absolutt ikke har noen praktisk anvendelse. Som vi husker fra historien var industriproduksjonen aktivt i utvikling på den tiden, alle slags hjelpemaskiner og maskinverktøy ble utviklet, det vil si at alle vitenskapelige oppdagelser hadde et praktisk fokus.
Når vi ser fremover, la oss si at boolsk algebra er den mest brukte delen av matematikk i den moderne verden. Så Bull tapte argumentet.
George Buhl
Selve personligheten til forfatteren fortjener spesiell oppmerksomhet. Selv med tanke på at folk tidligere vokste opp før oss, er det fortsatt umulig å ikke legge merke til at J. Buhl underviste på en landsbyskole i en alder av 16 år, og i en alder av 20 åpnet han sin egen skole i Lincoln. Matematikeren behersket fem fremmedspråk flytende, og på fritiden leste han verkNewton og Lagrange. Og alt dette handler om sønnen til en enkel arbeider!
I 1839 sendte Boole først inn sine vitenskapelige artikler til Cambridge Mathematical Journal. Forskeren er 24 år gammel. Booles arbeid så interesserte medlemmer av Royal Society at han i 1844 mottok en medalje for sitt bidrag til utviklingen av matematisk analyse. Flere publiserte arbeider, som beskrev elementene i matematisk logikk, tillot den unge matematikeren å ta stillingen som professor ved Cork County College. Husk at Buhl selv ikke hadde noen utdannelse.
Idea
I prinsippet er boolsk algebra veldig enkel. Det er utsagn (logiske uttrykk) som fra et matematikksynspunkt bare kan defineres med to ord: "sant" eller "usant". For eksempel, om våren blomstrer trærne - sant, om sommeren snør det - en løgn. Det fine med denne matematikken er at det ikke er noe strengt behov for kun å bruke tall. Alle utsagn med en utvetydig betydning er ganske egnet for dommens algebra.
Dermed kan logikkens algebra brukes bokstavelig t alt over alt: i planlegging og skriving av instruksjoner, analysering av motstridende informasjon om hendelser og bestemmelse av handlingsrekkefølgen. Det viktigste er å forstå at det er helt uviktig hvordan vi fastslår sannheten eller usannheten i utsagnet. Disse "hvordan" og "hvorfor" må abstraheres bort. Bare påstanden om fakta betyr noe: sant-usant.
For programmering er selvfølgelig funksjonene til logikkens algebra viktige, som er skrevet av den tilsvarendetegn og symboler. Og å lære dem betyr å mestre et nytt fremmedspråk. Ingenting er umulig.
Grunnleggende konsepter og definisjoner
Uten å gå i dybden, la oss ta for oss terminologien. Så boolsk algebra antar:
- statements;
- logiske operasjoner;
- funksjoner og lover.
Uttalelser er alle bekreftende uttrykk som ikke kan tolkes tvetydig. De er skrevet som tall (5 > 3) eller formulert i kjente ord (elefant er det største pattedyret). Samtidig har uttrykket "sjiraffen har ingen hals" også rett til å eksistere, bare boolsk algebra vil definere den som "falsk."
Alle utsagn må være entydige, men de kan være elementære og sammensatte. Sistnevnte bruker logiske koblinger. Det vil si at i dommens algebra dannes sammensatte utsagn ved å legge til elementære utsagn ved hjelp av logiske operasjoner.
boolske algebraoperasjoner
Vi husker allerede at operasjoner i dommens algebra er logiske. Akkurat som tallalgebra bruker aritmetikk for å addere, subtrahere eller sammenligne tall, lar elementer av matematisk logikk deg lage komplekse utsagn, negere eller beregne det endelige resultatet.
Logiske operasjoner for formalisering og enkelhet er skrevet av formler som er kjent for oss i aritmetikk. Egenskapene til boolsk algebra gjør det mulig å skrive ligninger og beregne ukjente. Logiske operasjoner skrives vanligvis ved hjelp av en sannhetstabell. Dens kolonnerdefiner elementene i beregningen og operasjonen som utføres på dem, og linjene viser resultatet av beregningen.
Grunnleggende logiske handlinger
De vanligste operasjonene i boolsk algebra er negasjon (NOT) og logisk AND og OR. Nesten alle handlinger i dommens algebra kan beskrives på denne måten. La oss studere hver av de tre operasjonene mer detaljert.
Negasjon (ikke) gjelder bare ett element (operand). Derfor kalles negasjonsoperasjonen unær. For å skrive konseptet "ikke A" bruk følgende symboler: ¬A, A¯¯¯ eller !A. I tabellform ser det slik ut:
Negasjonsfunksjonen er karakterisert ved følgende utsagn: hvis A er sann, så er B usann. For eksempel kretser Månen rundt Jorden - sant; Jorden kretser rundt månen - falsk.
Logisk multiplikasjon og addisjon
Den logiske OG kalles konjunksjonsoperasjonen. Hva betyr det? For det første at den kan brukes på to operander, dvs. og er en binær operasjon. For det andre, at kun i tilfellet med sannheten til begge operandene (både A og B) er selve uttrykket sant. Ordtaket "Tålmodighet og arbeid vil knuse alt" antyder at bare begge faktorene vil hjelpe en person med å takle vanskeligheter.
Symboler brukt for å skrive: A∧B, A⋅B eller A&&B.
Konjunksjon ligner på multiplikasjon i aritmetikk. Noen ganger sier de det - logisk multiplikasjon. Hvis vi multipliserer elementene i tabellen rad for rad, får vi et resultat som ligner på logisk resonnement.
Disjunksjon er en logisk ELLER-operasjon. Det tar verdien av sannhetnår minst ett av utsagnene er sant (enten A eller B). Det skrives slik: A∨B, A+B eller A||B. Sannhetstabellene for disse operasjonene er:
Disjunksjon er som aritmetisk addisjon. Den logiske addisjonsoperasjonen har bare én begrensning: 1+1=1. Men vi husker at i digit alt format er matematisk logikk begrenset til 0 og 1 (hvor 1 er sant, 0 er usant). For eksempel betyr uttalelsen "i et museum kan du se et mesterverk eller møte en interessant samtalepartner" at du kan se kunstverk, eller du kan møte en interessant person. Samtidig er muligheten for at begge hendelsene skal inntreffe samtidig ikke utelukket.
Funksjoner og lover
Så vi vet allerede hvilke logiske operasjoner boolsk algebra bruker. Funksjoner beskriver alle egenskapene til elementer i matematisk logikk og lar deg forenkle komplekse sammensatte betingelser for problemer. Den mest forståelige og enkle egenskapen ser ut til å være avvisningen av avledede operasjoner. Derivater er eksklusive OR, implikasjon og ekvivalens. Siden vi kun har studert de grunnleggende operasjonene, vil vi også vurdere egenskapene kun til dem.
Associativitet betyr at i utsagn som "og A, og B, og C," spiller rekkefølgen på operandene ingen rolle. Formelen er skrevet slik:
(A∧B)∧V=A∧(B∧V)=A∧B∧V, (A∨B)∨C=A∨(B∨C)=A∨B∨C.
Som du kan se, er dette ikke bare karakteristisk for konjunksjon, men også for disjunksjon.
Kommutativitet sier at resultatetkonjunksjon eller disjunksjon avhenger ikke av hvilket element som ble vurdert først:
A∧B=B∧A; A∨B=B∨A.
Distributivitet tillater utvidelse av parenteser i komplekse logiske uttrykk. Reglene ligner på åpningsparenteser i multiplikasjon og addisjon i algebra:
A∧(B∨C)=A∧B∨A∧B; A∨B∧B=(A∨B)∧(A∨B).
Egenskapene til én og null, som kan være en av operandene, ligner også på algebraisk multiplikasjon med null eller én og addisjon med én:
A∧0=0, A∧1=A; A∨0=A, A∨1=1.
Idempotens forteller oss at hvis resultatet av en operasjon viser seg å være likt med hensyn til to like operander, så kan vi "kaste bort" de ekstra operandene som kompliserer resonnementsforløpet. Både konjunksjon og disjunksjon er idempotente operasjoner.
B∧B=B; B∨B=B.
Absorpsjon lar oss også forenkle ligninger. Absorpsjon sier at når en annen operasjon med samme element brukes på et uttrykk med én operand, er resultatet operanden fra den absorberende operasjonen.
A∧B∨B=B; (A∨B)∧B=B.
Operasjonssekvens
Operasjonssekvensen er av ingen liten betydning. Faktisk, som for algebra, er det en prioritet av funksjoner som boolsk algebra bruker. Formler kan forenkles bare hvis betydningen av operasjonene blir observert. Rangering fra den mest betydningsfulle til den minste, får vi følgende sekvens:
1. Fornektelse.
2. Konjunksjon.
3. Disjunksjon, eksklusivELLER.
4. Implikasjon, ekvivalens.
Som du kan se, er det bare negasjon og konjunksjon som ikke har lik forrang. Og prioriteringen av disjunksjon og XOR er like, så vel som prioriteringene av implikasjon og ekvivalens.
Implikasjon og ekvivalensfunksjoner
Som vi allerede har sagt, i tillegg til de grunnleggende logiske operasjonene, bruker matematisk logikk og teorien om algoritmer derivater. De mest brukte er implikasjon og ekvivalens.
Implikasjon, eller logisk konsekvens, er et utsagn der en handling er en betingelse, og den andre er en konsekvens av implementeringen. Dette er med andre ord en setning med preposisjoner "hvis … da." "Hvis du liker å sykle, elsker å bære sleder." Det vil si at for å gå på ski må du stramme sleden opp bakken. Hvis det ikke er noe ønske om å flytte nedover fjellet, trenger du ikke bære sleden. Det er skrevet slik: A→B eller A⇒B.
Ekvivalens forutsetter at den resulterende handlingen bare skjer når begge operandene er sanne. For eksempel blir natt til dag når (og bare når) solen står opp over horisonten. På matematisk logikk er dette utsagnet skrevet som følger: A≡B, A⇔B, A==B.
Andre lover i boolsk algebra
Dommenes algebra er i utvikling, og mange interesserte forskere har formulert nye lover. Postulatene til den skotske matematikeren O. de Morgan regnes som de mest kjente. Han la merke til og definerte egenskaper som nær negasjon, komplement og dobbel negasjon.
Close negation betyr at det ikke er noen negasjon før parentesen:ikke (A eller B)=ikke A eller IKKE B.
Når en operand negeres, uavhengig av verdien, snakker man om et komplement:
B∧¬B=0; B∨¬B=1.
Og til slutt kompenserer den doble negasjonen for seg selv. De. enten forsvinner negasjonen før operanden, eller bare én gjenstår.
Hvordan løser du tester
Matematisk logikk innebærer forenkling av gitte ligninger. Akkurat som i algebra, må du først gjøre tilstanden så enkel som mulig (bli kvitt komplekse inndata og operasjoner med dem), og deretter begynne å lete etter det riktige svaret.
Hva kan gjøres for å forenkle? Konverter alle avledede operasjoner til enkle. Åpne deretter alle brakettene (eller omvendt, ta den ut av parentesene for å forkorte dette elementet). Det neste trinnet bør være å bruke egenskapene til boolsk algebra i praksis (absorpsjon, egenskapene til null og én osv.).
Til syvende og sist bør ligningen bestå av minimum antall ukjente kombinert med enkle operasjoner. Den enkleste måten å finne en løsning på er å oppnå et stort antall nære negativer. Da dukker svaret opp som av seg selv.
