Areal av sideoverflaten til en vanlig firkantet pyramide: formler og eksempler på problemer

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sist endret: 2024-01-02 17:53

Typiske geometriske problemer i planet og i tredimensjon alt rom er problemene med å bestemme overflatearealene til forskjellige former. I denne artikkelen presenterer vi formelen for arealet av sideflaten til en vanlig firkantet pyramide.

Hva er en pyramide?

La oss gi en streng geometrisk definisjon av en pyramide. Anta at det er en polygon med n sider og n hjørner. Vi velger et vilkårlig punkt i rommet som ikke vil være i planet til den spesifiserte n-gonen, og kobler det til hvert toppunkt i polygonet. Vi vil få en figur som har et visst volum, som kalles en n-gonal pyramide. La oss for eksempel vise i figuren nedenfor hvordan en femkantet pyramide ser ut.

To viktige elementer i enhver pyramide er bunnen (n-gon) og toppen. Disse elementene er forbundet med hverandre med n trekanter, som generelt ikke er like med hverandre. Vinkelrett f alt fratopp til bunn kalles figurens høyde. Hvis den skjærer basen i det geometriske sentrum (sammenfaller med massesenteret til polygonen), kalles en slik pyramide en rett linje. Hvis basen i tillegg til denne tilstanden er en vanlig polygon, kalles hele pyramiden regulær. Figuren nedenfor viser hvordan vanlige pyramider ser ut med trekantede, firkantede, femkantede og sekskantede baser.

Pyramidoverflate

Før vi går over til spørsmålet om arealet av sideflaten til en vanlig firkantet pyramide, bør vi dvele ved konseptet med selve overflaten.

Som nevnt ovenfor og vist i figurene, er enhver pyramide dannet av et sett med ansikter eller sider. Den ene siden er grunnflaten og n sider er trekanter. Overflaten til hele figuren er summen av arealene på hver av sidene.

Det er praktisk å studere overflaten på eksempelet på en figur som utfolder seg. En skanning etter en vanlig firkantet pyramide er vist i figurene nedenfor.

Vi ser at overflatearealet er lik summen av fire arealer av identiske likebenede trekanter og arealet av et kvadrat.

Det totale arealet av alle trekantene som danner sidene til figuren kalles arealet av sideflaten. Deretter vil vi vise hvordan du beregner det for en vanlig firkantet pyramide.

Arealet av sideoverflaten til en firkantet regulær pyramide

For å beregne arealet av lateralenoverflaten av den angitte figuren, vender vi igjen til skanningen ovenfor. Anta at vi kjenner siden av den kvadratiske grunnflaten. La oss betegne det med symbol a. Det kan sees at hver av de fire identiske trekantene har en base med lengden a. For å beregne deres totale areal, må du vite denne verdien for en trekant. Det er kjent fra geometrikurset at arealet til en trekant S_{t er lik produktet av basen og høyden, som skal deles i to. Det vil si:}

S_t=1/2t_ba.

Hvor h_b er høyden til en likebenet trekant tegnet til grunnflaten a. For en pyramide er denne høyden apotemet. Nå gjenstår det å multiplisere det resulterende uttrykket med 4 for å få arealet S_{b av sideflaten for den aktuelle pyramiden:}

S_b=4S_t=2h_ba.

Denne formelen inneholder to parametere: apotem og siden av basen. Hvis sistnevnte er kjent under de fleste forholdene i problemene, må førstnevnte beregnes med kjennskap til andre mengder. Her er formlene for å beregne apotema h_{b for to tilfeller:}

• når lengden på sideribben er kjent;
• når høyden på pyramiden er kjent.

Hvis vi angir lengden på sidekanten (siden av en likebenet trekant) med symbolet L, så bestemmes apotemaet h_{b av formelen:}

h_b=√(L² - a^2/4).

Dette uttrykket er resultatet av å bruke Pythagoras teoremet for sideflatetrekanten.

Hvis kjenthøyden h til pyramiden, så kan apotemaet h_{b beregnes som følger:}

h_b=√(h² + a^2/4).

Å få dette uttrykket er heller ikke vanskelig hvis vi betrakter inne i pyramiden en rettvinklet trekant dannet av bena h og a/2 og hypotenusen h_b.

La oss vise hvordan man bruker disse formlene ved å løse to interessante problemer.

Problem med kjent overflate

Det er kjent at sideoverflaten til en vanlig firkantet pyramide er 108 cm². Det er nødvendig å beregne verdien av lengden på apotemet h_{b, hvis høyden på pyramiden er 7 cm.}

La oss skrive formelen for arealet S_{b av sideflaten gjennom høyden. Vi har:}

S_b=2√(h² + a^{2/4) a.}

Her har vi bare erstattet den tilsvarende apotema-formelen i uttrykket for S_{b. La oss kvadrere begge sider av ligningen:}

S_b²=4a²h² + a^4.

For å finne verdien av a, la oss endre variablene:

a2=t;

t²+ 4h²t - S_b ^2=0.

Vi erstatter nå de kjente verdiene og løser den kvadratiske ligningen:

t2+ 196t - 11664=0.

t ≈ 47, 8355.

Vi skrev bare ut den positive roten til denne ligningen. Da blir sidene av bunnen av pyramiden:

a=√t=√47.8355 ≈ 6.916 cm.

For å få lengden på apotemaet,bare bruk formelen:

h_b=√(h² + a²/4)=√(7) ²+ 6, 916^{2/4) ≈ 7, 808 se}

Sideoverflaten til Cheops-pyramiden

Bestem verdien av sideoverflaten for den største egyptiske pyramiden. Det er kjent at ved basen ligger et kvadrat med en sidelengde på 230.363 meter. Høyden på strukturen var opprinnelig 146,5 meter. Sett inn disse tallene i den tilsvarende formelen for S_{b, vi får:}

S_b=2√(h² + a²/4) a=2√(146, 5²+230, 363²/4)230, 363 ≈ 85860 m^2.

Funnet verdi er litt større enn arealet til 17 fotballbaner.