Formel for å bestemme volumet til en kjegle. Eksempel på problemløsning

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sist endret: 2023-12-17 05:37

Hver elev i studiet av stereometri på videregående kom over en kjegle. To viktige kjennetegn ved denne romlige figuren er overflateareal og volum. I denne artikkelen vil vi vise hvordan du finner volumet til en rund kjegle.

Rund kjegle som en rotasjonsfigur av en rettvinklet trekant

Før du går direkte til emnet for artikkelen, er det nødvendig å beskrive kjeglen fra et geometrisk synspunkt.

La det være en rettvinklet trekant. Hvis du roterer den rundt noen av bena, vil resultatet av denne handlingen være ønsket figur, vist i figuren nedenfor.

Her er ben AB en del av kjeglens akse, og lengden tilsvarer høyden på figuren. Det andre benet (segment CA) vil være radiusen til kjeglen. Under rotasjon vil den beskrive en sirkel som avgrenser bunnen av figuren. Hypotenusen BC kalles generatrisen til figuren, eller dens generatrise. Punkt B er kjeglens eneste toppunkt.

Gitt egenskapene til trekanten ABC, kan vi skrive forholdet mellom generatrisen g, radius r og høyden h som følgerlikestilling:

g²=h²+ r²

Denne formelen er nyttig for å løse mange geometriske problemer med den aktuelle figuren.

formel for kjeglevolum

Volumet til enhver romlig figur er arealet av plass, som er begrenset av overflatene til denne figuren. Det er to slike overflater for en kjegle:

1. Lateral eller konisk. Den er dannet av alle generatriser.
2. Foundation. I dette tilfellet er det en sirkel.

Få formelen for å bestemme volumet til en kjegle. For å gjøre dette kutter vi det ment alt i mange lag parallelt med basen. Hvert av lagene har en tykkelse dx, som har en tendens til null. Arealet S_x av laget i en avstand x fra toppen av figuren er lik følgende uttrykk:

S_x=pir²x²/h ²

Gyldigheten til dette uttrykket kan verifiseres intuitivt ved å erstatte verdiene x=0 og x=h. I det første tilfellet vil vi få et areal lik null, i det andre tilfellet vil det være lik arealet av den runde basen.

For å bestemme volumet til kjeglen må du legge sammen små "volumer" av hvert lag, det vil si at du bør bruke integralregningen:

V=∫₀^h(pir²x ²/h²dx)=pir²/h² ∫₀^h(x²dx)

Når vi beregner dette integralet, kommer vi til den endelige formelen for en rund kjegle:

V=1/3pir²h

Det er interessant å merke seg at denne formelen er fullstendig lik den som brukes til å beregne volumet til en vilkårlig pyramide. Denne tilfeldigheten er ikke tilfeldig, fordi enhver pyramide blir en kjegle når antallet av kantene øker til det uendelige.

Volumberegningsproblem

Det er nyttig å gi et eksempel på løsning av problemet, som vil demonstrere bruken av den avledede formelen for volumet V.

Gitt en rund kjegle hvis grunnflate er 37 cm², og generatoren til figuren er tre ganger radiusen. Hva er volumet til kjeglen?

Vi har rett til å bruke volumformelen hvis vi kjenner to størrelser: høyden h og radius r. La oss finne formlene som bestemmer dem i samsvar med tilstanden til problemet.

Radius r kan beregnes ved å kjenne arealet av sirkelen S_o, vi har:

S_o=pir²=>

r=√(S_o/pi)

Ved å bruke tilstanden til problemet skriver vi likheten for generatoren g:

g=3r=3√(S_o/pi)

Når du kjenner formlene for r og g, beregner du høyden h:

h=√(g²- r²)=√(9S_o /pi - S_o/pi)=√(8S_o/pi)

Vi fant alle nødvendige parametere. Nå er det på tide å koble dem inn i formelen for V:

V=1/3pir²h=1/3piS_o/pi√ (8S_o/pi)=S_o/3√(8S_o /pi)

Det gjenstår å erstattegrunnflate S_o og beregn volumverdien: V=119,75 cm³.