En av figurene som oppstår når man løser geometriske problemer i rommet er en kjegle. Den, i motsetning til polyeder, tilhører klassen av rotasjonsfigurer. La oss vurdere i artikkelen hva som menes med det i geometri, og utforske egenskapene til ulike deler av kjeglen.
kjegle i geometri
Anta at det er en kurve på flyet. Det kan være en parabel, en sirkel, en ellipse, og så videre. Ta et punkt som ikke tilhører det angitte planet, og koble alle punktene i kurven til det. Den resulterende overflaten kalles en kjegle eller ganske enkelt en kjegle.
Hvis den opprinnelige kurven er lukket, kan den koniske overflaten fylles med materie. Figuren oppnådd på denne måten er en tredimensjonal kropp. Det kalles også en kjegle. Flere papirkjegler er vist nedenfor.
Den koniske overflaten finnes i hverdagen. For eksempel har en iskrem eller en stripet trafikkkjegle denne formen, som er designet for å tiltrekke seg oppmerksomheten til sjåfører ogfotgjengere.
Typer kjegler
Som du kanskje gjetter, skiller figurene som vurderes fra hverandre med hvilken type kurve de er dannet på. For eksempel er det en rund kjegle eller en elliptisk. Denne kurven kalles bunnen av figuren. Formen på basen er imidlertid ikke den eneste funksjonen som tillater klassifisering av kjegler.
Den andre viktige egenskapen er plasseringen av høyden i forhold til basen. Høyden på en kjegle er et rett linjesegment, som senkes fra toppen av figuren til basens plan og er vinkelrett på dette planet. Hvis høyden skjærer basen i det geometriske sentrum (for eksempel i sentrum av sirkelen), vil kjeglen være rett, hvis det vinkelrette segmentet faller til et hvilket som helst annet punkt på basen eller utover det, vil figuren være skrå.
Videre i artikkelen vil vi vurdere bare en rund rett kjegle som en lys representant for den betraktede klassen av figurer.
Geometriske navn på kjegleelementer
Det ble sagt ovenfor at kjeglen har en base. Den er avgrenset av en sirkel, som kalles kjeglens guide. Segmentene som forbinder guiden til et punkt som ikke ligger i basens plan kalles generatorer. Settet med alle punktene til generatorene kalles den koniske eller laterale overflaten av figuren. For en rund høyrekjegle har alle generatorer samme lengde.
Punkten der generatorene skjærer hverandre kalles toppen av figuren. I motsetning til polyedre har en kjegle et enkelt toppunkt og nredge.
En rett linje som går gjennom toppen av figuren og sentrum av sirkelen kalles aksen. Aksen inneholder høyden til en rett kjegle, så den danner en rett vinkel med basens plan. Denne informasjonen er viktig når du beregner arealet til den aksiale delen av kjeglen.
Rund rett kjegle - rotasjonsfigur
Den betraktede kjeglen er en ganske symmetrisk figur, som kan oppnås som et resultat av trekantens rotasjon. Anta at vi har en trekant med rett vinkel. For å få en kjegle er det nok å rotere denne trekanten rundt ett av bena som vist på figuren under.
Det kan sees at rotasjonsaksen er kjeglens akse. Ett av bena vil være lik høyden på figuren, og det andre benet vil bli radiusen til basen. Hypotenusen til en trekant som et resultat av rotasjon vil beskrive en konisk overflate. Det vil være kjeglens generatrise.
Denne metoden for å oppnå en rund rett kjegle er praktisk å bruke for å studere det matematiske forholdet mellom de lineære parametrene til figuren: høyden h, radiusen til den runde basen r og guiden g. Den tilsvarende formelen følger av egenskapene til en rettvinklet trekant. Den er oppført nedenfor:
g2=h2+ r2.
Siden vi har én ligning og tre variabler, betyr dette at for å sette parametrene til en rund kjegle unikt, må du vite hvilke som helst to størrelser.
Snitt av en kjegle ved et plan som ikke inneholder toppen av figuren
Spørsmålet om å konstruere deler av en figur er det ikketriviell. Faktum er at formen på delen av kjeglen ved overflaten avhenger av den relative plasseringen av figuren og sekanten.
Anta at vi skjærer kjeglen med et fly. Hva blir resultatet av denne geometriske operasjonen? Alternativer for seksjonsform vises i figuren nedenfor.
Den rosa delen er en sirkel. Den er dannet som et resultat av skjæringen av figuren med et plan som er parallelt med bunnen av kjeglen. Dette er snitt vinkelrett på figurens akse. Figuren dannet over skjæreplanet er en kjegle som ligner den originale, men med en mindre sirkel ved bunnen.
Den grønne delen er en ellipse. Det oppnås hvis skjæreplanet ikke er parallelt med basen, men det bare krysser kjeglens sideflate. En figur avskåret over flyet kalles en elliptisk skrå kjegle.
De blå og oransje delene er henholdsvis parabolske og hyperbolske. Som du kan se av figuren, oppnås de hvis skjæreplanet samtidig skjærer sideflaten og bunnen av figuren.
For å bestemme arealene til delene av kjeglen som ble vurdert, er det nødvendig å bruke formlene for den tilsvarende figuren på planet. For en sirkel er dette for eksempel tallet Pi multiplisert med kvadratet av radiusen, og for en ellipse er dette produktet av Pi og lengden av moll- og majorhalvaksen:
sirkel: S=pir2;
ellipse: S=piab.
Seksjoner som inneholder toppen av kjeglen
Vurder nå alternativene for seksjoner som oppstår hvis skjæreplanet erpassere gjennom toppen av kjeglen. Tre tilfeller er mulig:
- Seksjonen er et enkelt punkt. For eksempel gir et plan som går gjennom toppunktet og parallelt med basen akkurat en slik seksjon.
- Strekningen er en rett linje. Denne situasjonen oppstår når planet tangerer en konisk overflate. Den rette linjen til seksjonen i dette tilfellet vil være generatrisen til kjeglen.
- Aksial seksjon. Det dannes når flyet inneholder ikke bare toppen av figuren, men også hele aksen. I dette tilfellet vil planet være vinkelrett på den runde basen og vil dele kjeglen i to like deler.
Selvsagt er arealene til de to første typene seksjoner lik null. Når det gjelder tverrsnittsarealet til kjeglen for den tredje typen, diskuteres dette problemet mer detaljert i neste avsnitt.
Axial section
Det ble bemerket ovenfor at den aksiale seksjonen av en kjegle er figuren som dannes når kjeglen krysses av et plan som går gjennom dens akse. Det er lett å gjette at denne delen vil representere figuren vist i figuren nedenfor.
Dette er en likebenet trekant. Toppunktet til den aksiale delen av kjeglen er toppunktet til denne trekanten, dannet av skjæringspunktet mellom identiske sider. Sistnevnte er lik lengden på kjeglens generatrise. Basen til trekanten er diameteren til kjeglens base.
Beregning av arealet til den aksiale seksjonen av en kjegle reduseres til å finne arealet av den resulterende trekanten. Hvis radiusen til basen r og høyden h til kjeglen er kjent i utgangspunktet, vil arealet S av seksjonen som vurderes være:
S=hr.
Detteuttrykket er en konsekvens av å bruke standardformelen for arealet av en trekant (halve produktet av høyden ganger grunnflaten).
Merk at hvis generatrisen til en kjegle er lik diameteren til den runde basen, så er den aksiale delen av kjeglen en likesidet trekant.
En trekantet seksjon dannes når skjæreplanet er vinkelrett på bunnen av kjeglen og går gjennom dens akse. Ethvert annet plan parallelt med det navngitte vil gi en hyperbel i snitt. Men hvis planet inneholder toppen av kjeglen og skjærer basen ikke gjennom diameteren, vil den resulterende seksjonen også være en likebenet trekant.
Problemet med å bestemme de lineære parameterne til kjeglen
La oss vise hvordan man bruker formelen skrevet for arealet av aksialsnittet for å løse et geometrisk problem.
Det er kjent at arealet av den aksiale delen av kjeglen er 100 cm2. Den resulterende trekanten er likesidet. Hva er høyden på kjeglen og radiusen til basen?
Siden trekanten er likesidet, er høyden h relatert til lengden på siden a som følger:
h=√3/2a.
Gitt at siden av trekanten er to ganger radiusen til kjeglens basis, og erstatter dette uttrykket med formelen for tverrsnittsarealet, får vi:
S=hr=√3/22rr=>
r=√(S/√3).
Da er høyden på kjeglen:
h=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S).
Det gjenstår å erstatte verdien av området fra tilstanden til problemetog få svaret:
r=√(100/√3) ≈ 7,60 cm;
h=√(√3100) ≈ 13, 16 cm.
I hvilke områder er det viktig å kjenne til parameterne for de vurderte delene?
Undersøkelsen av ulike typer kjeglesnitt er ikke bare av teoretisk interesse, men har også praktiske anvendelser.
For det første bør det bemerkes området for aerodynamikk, hvor det ved hjelp av kjeglesnitt er mulig å lage ideelle glatte former av solide kropper.
For det andre er kjeglesnitt baner som romobjekter beveger seg langs i gravitasjonsfelt. Hvilken spesifikk type seksjon som representerer banen for bevegelsen til de kosmiske kroppene i systemet, bestemmes av forholdet mellom deres masser, absolutte hastigheter og avstander mellom dem.
