Volum er en karakteristikk av enhver figur som har dimensjoner som ikke er null i alle tre dimensjonene i rommet. I denne artikkelen vil vi, fra stereometriens synspunkt (geometrien til romlige figurer), vurdere et prisme og vise hvordan man finner volumene av prismer av forskjellige typer.
Hva er et prisme?
Stereometri har det nøyaktige svaret på dette spørsmålet. Et prisme i det forstås som en figur dannet av to identiske polygonale flater og flere parallellogrammer. Bildet nedenfor viser fire forskjellige prismer.
Hver av dem kan oppnås som følger: du må ta en polygon (trekant, firkant, og så videre) og et segment med en viss lengde. Deretter skal hvert toppunkt i polygonet overføres ved hjelp av parallelle segmenter til et annet plan. I det nye planet, som vil være parallelt med det opprinnelige, vil en ny polygon fås, lik den som ble valgt i utgangspunktet.
Prismer kan være av forskjellige typer. Så de kan være rette, skrå og korrekte. Hvis sidekanten av prismet (segment,forbinder hjørnene til basene) vinkelrett på basene til figuren, så er sistnevnte en rett linje. Følgelig, hvis denne betingelsen ikke er oppfylt, snakker vi om et skrå prisme. En vanlig figur er et rett prisme med en likekantet og likesidet base.
Senere i artikkelen vil vi vise hvordan man beregner volumet til hver av disse typene prismer.
Volum av vanlige prismer
La oss starte med den enkleste saken. Vi gir formelen for volumet til et vanlig prisme med en n-gonal base. Volumformelen V for enhver figur i klassen som vurderes er som følger:
V=Soh.
Det vil si at for å bestemme volumet, er det nok å beregne arealet til en av basene So og multiplisere det med høyden h på figuren.
I tilfellet med et vanlig prisme, la oss angi lengden på siden av basen med bokstaven a, og høyden, som er lik lengden på sidekanten, med bokstaven h. Hvis basisen til n-gonen er riktig, er den enkleste måten å beregne arealet på å bruke følgende universelle formel:
S=n/4a2ctg(pi/n).
Ved å erstatte verdien av antall sider n og lengden på en side a med likhet, kan du beregne arealet til den n-gonale grunnflaten. Merk at cotangensfunksjonen her beregnes for vinkelen pi/n, som er uttrykt i radianer.
Gitt likheten skrevet for S, får vi den endelige formelen for volumet til et regulært prisme:
V=n/4a2hctg(pi/n).
For hvert enkelt tilfelle kan du skrive de tilsvarende formlene for V, men allefølger unikt av det skriftlige generelle uttrykket. For eksempel, for et regulært firkantet prisme, som i det generelle tilfellet er et rektangulært parallellepiped, får vi:
V4=4/4a2hctg(pi/4)=a2 t.
Hvis vi tar h=a i dette uttrykket, får vi formelen for volumet til kuben.
Volum av direkte prismer
Vi merker umiddelbart at for rette figurer er det ingen generell formel for å beregne volum, som ble gitt ovenfor for vanlige prismer. Når du skal finne den aktuelle verdien, skal det opprinnelige uttrykket brukes:
V=Soh.
Her er h lengden på sidekanten, som i forrige tilfelle. Når det gjelder basisområdet So, kan det ha en rekke verdier. Oppgaven med å beregne et rett prisme av volum er redusert til å finne arealet av basen.
Beregningen av verdien til Sobør utføres basert på egenskapene til selve basen. Hvis det for eksempel er en trekant, kan arealet beregnes slik:
So3=1/2aha.
Her er ha apotemet til trekanten, det vil si høyden senket til basen a.
Hvis basen er en firkant, kan den være en trapes, et parallellogram, et rektangel eller en helt vilkårlig type. For alle disse tilfellene bør du bruke passende planimetriformel for å bestemme arealet. For eksempel, for en trapes, ser denne formelen slik ut:
So4=1/2(a1+ a2)h a.
Der ha er høyden på trapesen, a1 og a2 er lengdene av de parallelle sidene.
For å bestemme arealet for polygoner av høyere orden, bør du dele dem opp i enkle former (trekanter, firkanter) og beregne summen av arealene til sistnevnte.
Tiltet prismevolum
Dette er det vanskeligste tilfellet med å beregne volumet til et prisme. Den generelle formelen for slike tall gjelder også:
V=Soh.
Men til kompleksiteten med å finne arealet av basen som representerer en vilkårlig type polygon, legges problemet med å bestemme høyden på figuren. Den er alltid mindre enn lengden på sidekanten i et skrånende prisme.
Den enkleste måten å finne denne høyden på er hvis du kjenner hvilken som helst vinkel på figuren (flat eller dihedral). Hvis en slik vinkel er gitt, bør man bruke den til å konstruere en rettvinklet trekant inne i prismet, som vil inneholde høyden h som en av sidene, og ved å bruke trigonometriske funksjoner og Pythagoras teorem finne verdien h.
Geometrisk volumproblem
Gi et vanlig prisme med en trekantet base, med en høyde på 14 cm og en sidelengde på 5 cm. Hva er volumet til det trekantede prismet?
Siden vi snakker om riktig figur, har vi rett til å bruke den velkjente formelen. Vi har:
V3=3/4a2hctg(pi/3)=3/452141/√3=√3/42514=151,55 cm3.
Et trekantet prisme er en ganske symmetrisk figur, i form som det ofte lages ulike arkitektoniske strukturer. Dette glassprismet brukes i optikk.
