Trekant er den enkleste figuren som er lukket på planet, og består av bare tre sammenkoblede segmenter. I geometriproblemer er det ofte nødvendig å bestemme området til denne figuren. Hva trenger du å vite for dette? I artikkelen vil vi svare på spørsmålet om hvordan finne arealet av en trekant på tre sider.
Generell formel
Alle elever vet at arealet til en trekant beregnes som produktet av lengden på en av sidene - a med halv høyde - h, senket til den valgte siden. Nedenfor er den tilsvarende formelen: S=ah/2.
Dette uttrykket kan brukes hvis minst to sider og verdien av vinkelen mellom dem er kjent. I dette tilfellet er høyden h lett å beregne ved å bruke trigonometriske funksjoner, for eksempel sinus. Men ikke alle vet hvordan man finner området på tre sider av en trekant.
Heron's Formula
Denne formelen er svaret på spørsmålet om hvordantre sider finner arealet av trekanten. Før du skriver det ned, la oss betegne lengdene på segmentene til en vilkårlig figur som a, b og c. Herons formel er skrevet som følger: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)).
Hvor p er halve omkretsen av figuren, dvs.: p=(a+b+c)/2.
Til tross for den tilsynelatende besværligheten, er uttrykket ovenfor for området S lett å huske. For å gjøre dette må du først beregne halvomkretsen til trekanten, deretter trekke fra den med en lengde på siden av figuren, multiplisere alle oppnådde forskjeller og selve halvomkretsen. Til slutt tar du kvadratroten av produktet.
Denne formelen er oppk alt etter Heron av Alexandria, som levde i begynnelsen av vår tidsregning. Moderne historie mener at det var denne filosofen som først brukte dette uttrykket for å utføre de tilsvarende beregningene. Denne formelen er publisert i hans Metrica, som dateres tilbake til 60 e. Kr. Legg merke til at noen av verkene til Archimedes, som levde to århundrer tidligere enn Heron, inneholder tegn på at den greske filosofen allerede kjente formelen. I tillegg visste de gamle kineserne også hvordan de skulle finne arealet til en trekant, og kjenne tre sider.
Det er viktig å merke seg at problemet kan løses uten å vite eksistensen av Herons formel. For å gjøre dette, tegn et par høyder i trekanten og bruk den generelle formelen fra forrige avsnitt, kompiler det riktige likningssystemet.
Herons uttrykk kan brukes til å beregne arealene til vilkårlige polygoner, etter å ha splittet dem itrekanter og beregne lengdene på de resulterende diagonalene.
Eksempel på problemløsning
Når vi vet hvordan du finner arealet til en trekant på tre sider, la oss konsolidere kunnskapen vår ved å løse følgende problem. La sidene på figuren være 5 cm, 4 cm og 3 cm Finn arealet.
Tre sider av en trekant er kjent, så du kan bruke Herons formel. Vi beregner semi-perimeteren og de nødvendige forskjellene, vi har:
- p=(a+b+c)/2=6 cm;
- p-a=1cm;
- p-b=2cm;
- p-c=3 cm.
Da får vi arealet: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(6123)=6 cm2.
Trekanten som er gitt i oppgavens tilstand er rettvinklet, noe som er lett å sjekke hvis du bruker Pythagoras teorem. Siden arealet av en slik trekant er halvparten av produktet av bena, får vi: S=43/2=6 cm2.
Den resulterende verdien er den samme som for Herons formel, som bekrefter gyldigheten av sistnevnte.
