Utledning av formelen for arealet til en kjegle. Eksempel på problemløsning

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sist endret: 2023-12-17 05:37

Undersøkelsen av egenskapene til romlige figurer spiller en viktig rolle i å løse praktiske problemer. Vitenskapen som omhandler figurer i rommet kalles stereometri. I denne artikkelen, fra et solid geometris synspunkt, vil vi vurdere en kjegle og vise hvordan du finner arealet til en kjegle.

kjegle med rund base

I det generelle tilfellet er en kjegle en overflate bygget på en plan kurve, der alle punkter er forbundet med segmenter med ett punkt i rommet. Sistnevnte kalles toppen av kjeglen.

Fra definisjonen ovenfor er det klart at en kurve kan ha en vilkårlig form, slik som parabolsk, hyperbolsk, elliptisk og så videre. Likevel er det i praksis og ved problemer i geometri ofte en rund kjegle man ofte møter. Det vises på bildet nedenfor.

Her betegner symbolet r radiusen til sirkelen som er plassert ved bunnen av figuren, h er vinkelrett på sirkelplanet, som er tegnet fra toppen av figuren. Det kalles høyde. Verdien s er generatrisen til kjeglen, eller dens generatrise.

Det kan sees at segmentene r, h og sdanner en rettvinklet trekant. Hvis den roteres rundt benet h, vil hypotenusen s beskrive den koniske overflaten, og benet r danner den runde bunnen av figuren. Av denne grunn regnes kjeglen som en revolusjonsfigur. De tre navngitte lineære parameterne er sammenkoblet av likheten:

s²=r²+ h²

Merk at den gitte likheten kun er gyldig for en rund rett kjegle. En rett figur er bare hvis høyden faller nøyaktig i midten av grunnsirkelen. Hvis denne betingelsen ikke er oppfylt, kalles figuren skrå. Forskjellen mellom rette og skrå kjegler er vist i figuren under.

Formutvikling

Å studere overflaten til en kjegle er praktisk å utføre, med tanke på det på et fly. Denne måten å representere overflaten til figurer i rommet på kalles deres utvikling. For en kjegle kan denne utviklingen oppnås som følger: du må ta en figur laget for eksempel av papir. Klipp deretter av den runde basen rundt omkretsen med en saks. Etter det, langs generatrisen, gjør du et kutt av den koniske overflaten og gjør den til et plan. Resultatet av disse enkle operasjonene vil være utviklingen av kjeglen, vist i figuren nedenfor.

Som du kan se, kan overflaten av en kjegle faktisk representeres på et plan. Den består av følgende to deler:

• sirkel med radius r som representerer bunnen av figuren;
• sirkulær sektor med radius g, som er en konisk overflate.

Formelen for arealet til en kjegle innebærer å finne arealene til begge utfoldede overflater.

Beregn overflatearealet til en figur

La oss dele oppgaven i to trinn. Først finner vi arealet av bunnen av kjeglen, deretter arealet av den koniske overflaten.

Den første delen av problemet er lett å løse. Siden radius r er gitt, er det nok å huske det tilsvarende uttrykket for arealet av en sirkel for å beregne arealet av basen. La oss skrive det ned:

S_o=pi × r²

Hvis radiusen ikke er kjent, bør du først finne den ved å bruke relasjonsformelen mellom den, høyden og generatoren.

Den andre delen av problemet med å finne arealet til en kjegle er noe mer komplisert. Legg merke til at den sirkulære sektoren er bygget på radius g av generatrisen og er avgrenset av en bue hvis lengde er lik sirkelens omkrets. Dette faktum lar deg skrive ned proporsjonen og finne vinkelen til den vurderte sektoren. La oss betegne det med den greske bokstaven φ. Denne vinkelen vil være lik:

2 × pi=>2 × pi × g;

φ=> 2 × pi × r;

φ=2 × pi × r / g

Når du kjenner den sentrale vinkelen φ til en sirkulær sektor, kan du bruke passende proporsjoner for å finne området. La oss betegne det med symbolet S_b. Det vil være lik:

2 × pi=>pi × g²;

φ=> S_b;

S_b=pi × g² × φ / (2 × pi)=pi × r × g

Det vil si at arealet av den koniske overflaten tilsvarer produktet av generatrisen g, radiusen til basen r og tallet Pi.

Å vite hva områdene til beggevurdert overflater, kan vi skrive den endelige formelen for arealet til en kjegle:

S=S_o+ S_b=pi × r²+ pi × r × g=pi × r × (r + g)

Det skrevne uttrykket forutsetter kunnskap om to lineære parametere til kjeglen for å beregne S. Hvis g eller r er ukjent, kan de bli funnet gjennom høyden h.

Problemet med å beregne arealet til en kjegle

Det er kjent at høyden på en rund rett kjegle er lik diameteren. Det er nødvendig å beregne arealet av figuren, vel vitende om at arealet av en bits base er 50 cm².

Når du kjenner arealet til en sirkel, kan du finne radiusen til figuren. Vi har:

S_o=pi × r²=>

r=√(S_o /pi)

La oss nå finne generatoren g i form av h og r. I henhold til betingelsen er høyden h på figuren lik to radier r, da:

h=2 × r;

g²=(2 × r)²+ r²=>

g=√5 × r=√(5 × S_o / pi)

Funne formler for g og r bør erstattes med uttrykket for hele arealet av kjeglen. Vi får:

S=S_o+ pi × √(S_o / pi) × √(5 × S _o /pi)=S_o × (1 + √5)

I det resulterende uttrykket erstatter vi arealet av grunnflaten S_o og skriver ned svaret: S ≈ 161,8 cm².