Sylinder: sideoverflate. Formelen for arealet av sideoverflaten til en sylinder

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sist endret: 2024-01-02 17:53

Når du studerer stereometri, er et av hovedtemaene "Sylinder". Det laterale overflatearealet anses, om ikke det viktigste, så en viktig formel for å løse geometriske problemer. Det er imidlertid viktig å huske definisjoner som vil hjelpe deg å navigere gjennom eksempler og når du skal bevise ulike teoremer.

Sylinderkonsept

Først må vi vurdere noen definisjoner. Først etter å ha studert dem kan man begynne å vurdere spørsmålet om formelen for arealet av sideflaten til en sylinder. Basert på denne oppføringen kan andre uttrykk beregnes.

• En sylindrisk overflate forstås som et plan beskrevet av en generatrise, som beveger seg og forblir parallelt med en gitt retning, og glir langs en eksisterende kurve.
• Det er også en annen definisjon: en sylindrisk overflate er dannet av et sett med parallelle linjer som skjærer en gitt kurve.
• Generativ kalles konvensjonelt høyden på sylinderen. Når den beveger seg rundt en akse som går gjennom midten av basen,den angitte geometriske kroppen oppnås.
• Under aksen menes en rett linje som går gjennom begge basene på figuren.
• En sylinder er et stereometrisk legeme avgrenset av en kryssende sideflate og 2 parallelle plan.

Det finnes varianter av denne tredimensjonale figuren:

1. Sirkulær er en sylinder hvis guide er en sirkel. Hovedkomponentene er radiusen til basen og generatrisen. Sistnevnte er lik høyden på figuren.
2. Det er en rett sylinder. Den har fått navnet sitt på grunn av generatrisens vinkelrett på figurens base.
3. Den tredje typen er en skrå sylinder. I lærebøker kan du også finne et annet navn for det - "sirkulær sylinder med skrå bunn." Denne figuren definerer radiusen til basen, minimums- og maksimumshøydene.
4. En likesidet sylinder forstås som en kropp som har samme høyde og diameter som et sirkulært plan.

Symbols

Tradisjonelt kalles hovedkomponentene i en sylinder som følger:

• Radien til basen er R (den erstatter også den samme verdien til en stereometrisk figur).
• Generativ – L.
• Høyde – H.
• Base area - S_{base (med andre ord, du må finne den angitte sirkelparameteren).}
• Skrå sylinderhøyder – h₁, h_{2 (minimum og maksimum).}
• Sideoverflate – S_{side (hvis du utvider det, får duslags rektangel).}
• Volumet til en stereometrisk figur - V.
• Tot alt overflateareal – S.

“Komponenter” av en stereometrisk figur

Når man studerer en sylinder, spiller sideoverflaten en viktig rolle. Dette skyldes det faktum at denne formelen er inkludert i flere andre, mer komplekse. Derfor er det nødvendig å være godt kjent med teori.

Hovedkomponentene i figuren er:

1. Sideoverflate. Som du vet, oppnås det på grunn av bevegelsen til generatrisen langs en gitt kurve.
2. Full overflate inkluderer eksisterende baser og sideplan.
3. Seksjonen av en sylinder er som regel et rektangel plassert parallelt med figurens akse. Ellers kalles det et fly. Det viser seg at lengden og bredden er deltidskomponenter av andre figurer. Så, betinget, er lengdene på seksjonen generatorer. Bredde - parallelle akkorder av en stereometrisk figur.
4. Aksial seksjon betyr plasseringen av flyet gjennom midten av kroppen.
5. Og til slutt, den endelige definisjonen. En tangent er et plan som går gjennom generatrisen til sylinderen og vinkelrett på aksialsnittet. I dette tilfellet må ett vilkår være oppfylt. Den angitte generatrisen må inkluderes i aksialsnittets plan.

Grunnleggende formler for arbeid med en sylinder

For å svare på spørsmålet om hvordan man finner overflatearealet til en sylinder, er det nødvendig å studere hovedkomponentene i en stereometrisk figur og formlene for å finne dem.

Disse formlene er forskjellige ved at først uttrykkene for den skrå sylinderen er gitt, og deretter for den rette.

Dekonstruerte eksempler

Oppgave 1.

Det er nødvendig å kjenne området til sylinderens sideflate. Diagonalen til seksjonen AC=8 cm er gitt (den er dessuten aksial). Når den er i kontakt med generatrisen, viser det seg _<ACD=30°

Beslutning. Siden verdiene for diagonalen og vinkelen er kjent, så i dette tilfellet:

CD=ACcos 30°

Kommentar. Trekant ACD, i dette spesielle eksempelet, er en rettvinklet trekant. Dette betyr at kvotienten for å dele CD og AC=cosinus til den gitte vinkelen. Verdien av trigonometriske funksjoner kan finnes i en spesiell tabell.

På samme måte kan du finne verdien av AD:

AD=ACsin 30°

Nå må du beregne ønsket resultat ved å bruke følgende formulering: arealet av sideflaten til sylinderen er lik to ganger resultatet av å multiplisere "pi", radiusen til figuren og dens høyde. En annen formel bør også brukes: arealet av bunnen av sylinderen. Det er lik resultatet av å multiplisere "pi" med kvadratet av radien. Og til slutt, den siste formelen: tot alt overflateareal. Den er lik summen av de to foregående områdene.

Oppgave 2.

Sylindere er gitt. Deres volum=128n cm³. Hvilken sylinder har den minstefull overflate?

Beslutning. Først må du bruke formlene for å finne volumet til en figur og dens høyde.

Siden det totale overflatearealet til en sylinder er kjent fra teorien, må formelen brukes.

Hvis vi betrakter den resulterende formelen som en funksjon av arealet til sylinderen, vil minimum "indikator" nås ved ekstremumpunktet. For å få den siste verdien, må du bruke differensiering.

Formler kan sees i en spesiell tabell for å finne derivater. I fremtiden likestilles det funnet resultatet til null og løsningen av ligningen blir funnet.

Svar: S_{min nås ved h=1/32 cm, R=64 cm.}

Problem 3.

Gitt en stereometrisk figur - en sylinder og en seksjon. Sistnevnte utføres på en slik måte at den er plassert parallelt med aksen til det stereometriske legemet. Sylinderen har følgende parametere: VK=17 cm, h=15 cm, R=5 cm Det er nødvendig å finne avstanden mellom snittet og aksen.

Beslutning.

Siden tverrsnittet til en sylinder forstås som VSCM, dvs. et rektangel, er siden VM=h. WMC må vurderes. Trekanten er rektangulær. Basert på dette utsagnet kan vi utlede den riktige antagelsen om at MK=BC.

VK²=VM² + MK²

MK²=VK² - VM²

MK²=17² - 15²

MK²=64

MK=8

Herfra kan vi konkludere med at MK=BC=8 cm.

Neste trinn er å tegne et snitt gjennom bunnen av figuren. Det er nødvendig å vurdere det resulterende flyet.

AD – diameter på en stereometrisk figur. Den er parallell med avsnittet nevnt i problemformuleringen.

BC er en rett linje plassert på planet til det eksisterende rektangelet.

ABCD er en trapes. I et spesielt tilfelle regnes den som likebenet, siden en sirkel er beskrevet rundt den.

Hvis du finner høyden på den resulterende trapesen, kan du få svaret gitt i begynnelsen av oppgaven. Nemlig: finne avstanden mellom aksen og snittet som er tegnet.

For å gjøre dette, må du finne verdiene til AD og OS.

Svar: seksjonen er plassert 3 cm fra aksen.

Problemer med å konsolidere materialet

Eksempel 1.

Sylinder gitt. Sideoverflatearealet brukes i den videre løsningen. Andre alternativer er kjent. Arealet av basen er Q, arealet av aksialsnittet er M. Det er nødvendig å finne S. Med andre ord, det totale arealet av sylinderen.

Eksempel 2.

Sylinder gitt. Det laterale overflatearealet må finnes i ett av trinnene for å løse problemet. Det er kjent at høyde=4 cm, radius=2 cm. Det er nødvendig å finne det totale arealet til en stereometrisk figur.