Området til en avkuttet kjegle. Eksempel på formel og problem

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sist endret: 2023-12-17 05:37

Revolusjonsfigurene i geometri vies spesiell oppmerksomhet når man studerer deres egenskaper og egenskaper. En av dem er en avkortet kjegle. Denne artikkelen tar sikte på å svare på spørsmålet om hvilken formel som kan brukes til å beregne arealet til en avkortet kjegle.

Hvilken figur snakker vi om?

Før du beskriver området til en avkortet kjegle, er det nødvendig å gi en nøyaktig geometrisk definisjon av denne figuren. Avkortet er en slik kjegle, som oppnås som et resultat av å kutte toppen av en vanlig kjegle av et fly. I denne definisjonen bør en rekke nyanser vektlegges. For det første må seksjonsplanet være parallelt med planet til bunnen av kjeglen. For det andre må den opprinnelige figuren være en sirkulær kjegle. Selvfølgelig kan det være en elliptisk, hyperbolsk og annen type figur, men i denne artikkelen vil vi begrense oss til å vurdere bare en sirkulær kjegle. Sistnevnte er vist i figuren nedenfor.

Det er lett å gjette at det ikke bare kan oppnås ved hjelp av et snitt ved et fly, men også ved hjelp av en rotasjonsoperasjon. TilFor å gjøre dette må du ta en trapes som har to rette vinkler og rotere den rundt siden som er ved siden av disse rette vinklene. Som et resultat vil basene til trapesen bli radiene til basene til den avkortede kjeglen, og den skråstilte siden av trapesen vil beskrive den koniske overflaten.

Formutvikling

Med tanke på overflatearealet til en avkuttet kjegle, er det nyttig å ta med utviklingen, det vil si bildet av overflaten til en tredimensjonal figur på et plan. Nedenfor er en skanning av den studerte figuren med vilkårlige parametere.

Det kan sees at arealet av figuren er dannet av tre komponenter: to sirkler og ett avkortet sirkulært segment. For å bestemme det nødvendige området, er det åpenbart nødvendig å legge sammen arealene til alle de navngitte figurene. La oss løse dette problemet i neste avsnitt.

Trunkert kjegleområde

For å gjøre det lettere å forstå følgende resonnement, introduserer vi følgende notasjon:

• r1, r2 - radier av henholdsvis den store og den lille basen;
• h - figurhøyde;
• g - generatrise av kjeglen (lengden på den skrå siden av trapesen).

Areal av basene til en avkortet kjegle er lett å beregne. La oss skrive de tilsvarende uttrykkene:

S_o1=pir₁²;

S_o2=pir₂².

Arealet til en del av et sirkulært segment er noe vanskeligere å bestemme. Hvis vi forestiller oss at sentrum av denne sirkulære sektoren ikke er kuttet ut, vil dens radius være lik verdien G. Det er ikke vanskelig å beregne den hvis vi vurderer den tilsvarendelignende rettvinklede kjegletrekanter. Det er lik:

G=r₁g/(r₁-r₂).

Da vil arealet av hele den sirkulære sektoren, som er bygget på radius G og som er avhengig av en bue med lengden 2pir₁, være lik til:

S₁=pir₁G=pir₁ ²g/(r₁-r₂).

La oss nå bestemme arealet til den lille sirkulære sektoren S₂, som må trekkes fra S₁. Det er lik:

S₂=pir₂(G - g)=pir_{2 (r}1_g/(r1_-r2_{) - g)=pir}22^g/(r1_-r2 _).

Arealet til den koniske avkortede overflaten S_ber lik forskjellen mellom S₁ og S ₂. Vi får:

S_b=S₁- S₂=pir ₁²g/(r₁-r₂) - pi r₂²g/(r₁-r_2)=pig(r1_+r2_).

Til tross for noen tungvinte beregninger, fikk vi et ganske enkelt uttrykk for arealet av sideflaten til figuren.

Ved å legge til arealene til basene og S_b, kommer vi til formelen for arealet til en avkortet kjegle:

S=S_o1+ S_o2+ S_b=pir 12 ^{+ pir}22 ^{+ pig (r}1_+r2_).

For å beregne verdien av S til den studerte figuren, må du derfor kjenne dens tre lineære parametere.

Eksempelproblem

Sirkulær rett kjeglemed en radius på 10 cm og en høyde på 15 cm ble avskåret av et plan slik at det ble oppnådd en vanlig avkortet kjegle. Når du vet at avstanden mellom basene til den avkortede figuren er 10 cm, er det nødvendig å finne overflaten.

For å bruke formelen for arealet til en avkortet kjegle, må du finne tre av parameterne. En vi kjenner:

r₁=10 cm.

De to andre er enkle å beregne hvis vi tar i betraktning lignende rettvinklede trekanter, som oppnås som et resultat av kjeglens aksiale snitt. Med tanke på tilstanden til problemet får vi:

r₂=105/15=3,33 cm.

Til slutt vil guiden til den avkortede kjeglen g være:

g=√(10²+ (r₁-r₂) ²)=12,02 cm.

Nå kan du erstatte verdiene r₁, r₂ og g i formelen for S:

S=pir₁²+ pir₂ 2^{+ pig(r}1_+r2_{)=851,93 cm} 2.

Det ønskede overflatearealet til figuren er omtrent 852 cm².