Lateral overflate av en vanlig og avkortet kjegle. Formler og et eksempel på løsning av problemet

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sist endret: 2023-12-17 05:37

Når man vurderer figurer i rommet, oppstår det ofte problemer med å bestemme overflatearealet deres. En slik figur er kjeglen. Vurder i artikkelen hva som er sideflaten til en kjegle med rund base, samt en avkortet kjegle.

kjegle med rund base

Før vi går videre til vurderingen av kjeglens sideoverflate, vil vi vise hva slags figur det er og hvordan man får den ved hjelp av geometriske metoder.

Ta en rettvinklet trekant ABC, der AB og AC er ben. La oss sette denne trekanten på ben AC og rotere den rundt ben AB. Som et resultat beskriver sidene AC og BC to overflater av figuren vist nedenfor.

Figuren som oppnås ved rotasjon kalles en rund rett kjegle. Den er rund fordi basen er en sirkel, og rett fordi en vinkelrett trukket fra toppen av figuren (punkt B) skjærer sirkelen i midten. Lengden på denne perpendikulæren kalles høyden. Det er åpenbart lik ben AB. Høyden er vanligvis angitt med bokstaven h.

I tillegg til høyden er den betraktede kjeglen beskrevet av ytterligere to lineære egenskaper:

• genererende, eller generatrise (hypotenuse BC);
• baseradius (ben AC).

Radien vil bli angitt med bokstaven r, og generatoratrisen med g. Deretter, under hensyntagen til Pythagoras teorem, kan vi skrive ned likheten som er viktig for figuren som vurderes:

g²=h²+ r²

Konisk overflate

Totaliteten av alle generatriser danner en konisk eller lateral overflate av en kjegle. Utseendemessig er det vanskelig å si hvilken flat figur det tilsvarer. Sistnevnte er viktig å vite når du skal bestemme arealet til en konisk overflate. For å løse dette problemet brukes sveipemetoden. Den består av følgende: en overflate skjæres ment alt langs en vilkårlig generatrise, og deretter brettes den ut på et plan. Med denne metoden for å oppnå et sveip, dannes følgende flate figur.

Som du kanskje gjetter, tilsvarer sirkelen basen, men den sirkulære sektoren er en konisk overflate, området vi er interessert i. Sektoren er avgrenset av to generatriser og en bue. Lengden på sistnevnte er nøyaktig lik omkretsen (lengden) av basens omkrets. Disse egenskapene bestemmer unikt alle egenskapene til den sirkulære sektoren. Vi vil ikke gi mellomliggende matematiske beregninger, men umiddelbart skrive ned den endelige formelen, som du kan bruke til å beregne arealet av kjeglens sideflate. Formelen er:

S_b=pigr

Arealet til en konisk overflate S_ber lik produktet av to parametere og Pi.

Trunkert kjegle og dens overflate

Hvis vi tar en vanlig kjegle og skjærer av toppen med et parallelt plan, vil den gjenværende figuren være en avkortet kjegle. Dens sideoverflate er begrenset av to runde baser. La oss betegne radiene deres som R og r. Vi angir høyden på figuren med h, og generatrisen med g. Nedenfor er et papirutklipp for denne figuren.

Det kan sees at sideflaten ikke lenger er en sirkulær sektor, den er mindre i areal siden den sentrale delen ble avskåret fra den. Utviklingen er begrenset til fire linjer, to av dem er rette linjesegmenter-generatorer, de to andre er buer med lengdene til de tilsvarende sirkler av basene til den avkortede kjeglen.

Sideoverflate S_b beregnes som følger:

S_b=pig(r + R)

Generatrix, radier og høyde er relatert med følgende likhet:

g²=h²+ (R - r)²

Problemet med likestilling av figurenes områder

Gi en kjegle med en høyde på 20 cm og en bunnradius på 8 cm. Det er nødvendig å finne høyden på en avkortet kjegle hvis sideflate vil ha samme areal som denne kjeglen. Den avkortede figuren er bygget på samme base, og radiusen til den øvre basen er 3 cm.

Først av alt, la oss skrive ned betingelsen for likhet for områdene av kjeglen og den avkortede figuren. Vi har:

S_b1=S_b2=>

pig₁R=pig₂(r + R)

La oss nå skrive uttrykkene for generatrisene til hver form:

g₁=√(R²+ h₁²);

g₂=√((R-r)² + h₂ ²)

Erstatt g₁ og g₂ inn i formelen for like arealer og kvadrat venstre og høyre side, vi får:

R²(R²+ h₁²)=((R-r)²+ h₂²)(r) + R)²

Hvor vi får uttrykket for h₂:

h₂=√(R²(R²+ h 12^{)/(r + R)}2^{- (R - r)}2 ⁾

Vi vil ikke forenkle denne likheten, men bare erstatte dataene kjent fra betingelsen:

h₂=√(8²(8²+ 202^{)/(3 + 8)}2^{- (8 - 3)}2^{) ≈ 14,85 cm}

For å være lik arealene til sideflatene til figurene, må den avkortede kjeglen ha parametrene: R=8 cm, r=3 cm, h₂≈ 14, 85 cm.