Hva er dette - en kjegle? Definisjon, egenskaper, formler og eksempel på løsning av oppgaven

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sist endret: 2024-01-02 17:53

En kjegle er en av de romlige rotasjonsfigurene, hvis egenskaper og egenskaper studeres ved stereometri. I denne artikkelen vil vi definere denne figuren og vurdere de grunnleggende formlene som forbinder de lineære parametrene til en kjegle med dens overflateareal og volum.

Hva er en kjegle?

Fra et geometrisk synspunkt snakker vi om en romlig figur, som er dannet av et sett med rette segmenter som forbinder et bestemt punkt i rommet med alle punktene i en jevn flat kurve. Denne kurven kan være en sirkel eller en ellipse. Figuren nedenfor viser en kjegle.

Den presenterte figuren har ikke noe volum, siden veggene på overflaten har en uendelig liten tykkelse. Men hvis den er fylt med et stoff og avgrenset ovenfra ikke av en kurve, men av en flat figur, for eksempel en sirkel, vil vi få et solid volumetrisk legeme, som også kalles en kjegle.

Formen til en kjegle kan ofte finnes i livet. Så den har en iskrem eller stripete svarte og oransje trafikkkjegler som settes på veibanen for å tiltrekke seg oppmerksomheten til trafikkdeltakerne.

Elementer av en kjegle og dens typer

Siden kjeglen ikke er et polyeder, er antallet elementer som danner den ikke så stort som for polyeder. I geometri består en generell kjegle av følgende elementer:

• base, hvis avgrensende kurve kalles retningslinje, eller generatrise;
• av sideoverflaten, som er samlingen av alle punkter av rette linjesegmenter (generatriser) som forbinder toppunktet og punktene til ledekurven;
• vertex, som er skjæringspunktet for generatrisene.

Merk at toppunktet ikke må ligge i basens plan, siden kjeglen i dette tilfellet utarter seg til en flat figur.

Hvis vi tegner et vinkelrett segment fra toppen til bunnen, får vi høyden på figuren. Hvis den siste basen skjærer i det geometriske sentrum, er det en rett kjegle. Hvis perpendikulæren ikke faller sammen med det geometriske sentrum av basen, vil figuren være skråstilt.

Rete og skrå kjegler er vist på figuren. Her er høyden og radiusen til kjeglens base betegnet med henholdsvis h og r. Linjen som forbinder toppen av figuren og det geometriske midten av basen er kjeglens akse. Det kan ses av figuren at for en rett figur ligger høyden på denne aksen, og for en skrå figur danner høyden en vinkel med aksen. Keglens akse er angitt med bokstaven a.

Rett kjegle med rund base

Kanskje denne kjeglen er den vanligste av den betraktede klassen av figurer. Den består av en sirkel og en sideoverflater. Det er ikke vanskelig å oppnå det ved geometriske metoder. For å gjøre dette, ta en rettvinklet trekant og roter den rundt en akse som faller sammen med et av bena. Åpenbart vil dette benet bli høyden på figuren, og lengden på trekantens andre ben danner radiusen til kjeglens base. Diagrammet nedenfor viser det beskrevne opplegget for å få det aktuelle rotasjonstallet.

Den avbildede trekanten kan roteres rundt et annet ben, noe som vil resultere i en kjegle med større baseradius og lavere høyde enn den første.

For entydig å bestemme alle parametere for en rund rett kjegle, bør man kjenne til to av dens lineære egenskaper. Blant dem skilles radien r, høyden h eller lengden av generatrisen g. Alle disse mengdene er lengdene på sidene til den betraktede rettvinklede trekanten, derfor er Pythagoras teorem gyldig for forbindelsen deres:

g²=r²+ h^2.

Overflateareal

Når du studerer overflaten til en tredimensjonal figur, er det praktisk å bruke utviklingen på et plan. Kjeglen er intet unntak. For en rund kjegle er utviklingen vist nedenfor.

Vi ser at utfoldingen av figuren består av to deler:

1. Sirkelen som danner bunnen av kjeglen.
2. Sirkelsektoren, som er den koniske overflaten til figuren.

Areal av en sirkel er lett å finne, og den tilsvarende formelen er kjent for alle elever. Når vi snakker om den sirkulære sektoren, merker vi at deter en del av en sirkel med radius g (lengden av kjeglens generatris). Lengden på buen til denne sektoren er lik omkretsen av basen. Disse parameterne gjør det mulig å entydig bestemme området. Den tilsvarende formelen er:

S=pir2+ pirg.

Første og andre ledd i uttrykket er henholdsvis kjeglen til basen og sideflaten til området.

Hvis lengden på generatoren g er ukjent, men høyden h på figuren er gitt, kan formelen skrives om som:

S=pir²+ pir√(r²+ h^2).

Volumet på figuren

Hvis vi tar en rett pyramide og øker antallet sider av basen i det uendelige, vil formen på basen tendere til en sirkel, og sideflaten til pyramiden vil nærme seg den koniske overflaten. Disse betraktningene lar oss bruke formelen for volumet til en pyramide når vi beregner en lignende verdi for en kjegle. Volumet til en kjegle kan bli funnet ved å bruke formelen:

V=1/3tS_o.

Denne formelen er alltid sann, uavhengig av bunnen av kjeglen, med areal S_{o. Dessuten gjelder formelen også for den skrå kjeglen.}

Siden vi studerer egenskapene til en rett figur med en rund base, kan vi bruke følgende uttrykk for å bestemme volumet:

V=1/3tpir2.

Formelen er åpenbar.

Problemet med å finne overflateareal og volum

La det gis en kjegle hvis radius er 10 cm, og lengden på generatrisen er 20se Må bestemme volum og overflateareal for denne formen.

For å beregne arealet S, kan du umiddelbart bruke formelen skrevet ovenfor. Vi har:

S=pir²+ pirg=942 cm^2.

For å bestemme volumet må du vite høyden h på figuren. Vi beregner det ved å bruke forholdet mellom de lineære parametrene til kjeglen. Vi får:

h=√(g²- r²)=√(20²- 10^{2) ≈ 17, 32 cm.}

Nå kan du bruke formelen for V:

V=1/3tpir²=1/317, 323, 1410^{2 ≈ 1812, 83cm}3^.

Merk at volumet til en rund kjegle er en tredjedel av sylinderen den er innskrevet i.