Alle elever har hørt om en rund kjegle og forestiller seg hvordan denne tredimensjonale figuren ser ut. Denne artikkelen definerer utviklingen av en kjegle, gir formler som beskriver dens egenskaper, og beskriver hvordan du konstruerer den ved hjelp av et kompass, gradskive og rette.
Sirkulær kjegle i geometri
La oss gi en geometrisk definisjon av denne figuren. En rund kjegle er en overflate som er dannet av rette linjesegmenter som forbinder alle punktene i en bestemt sirkel med et enkelt punkt i rommet. Dette enkeltpunktet må ikke tilhøre planet som sirkelen ligger i. Hvis vi tar en sirkel i stedet for en sirkel, fører denne metoden også til en kjegle.
Sirkelen kalles bunnen av figuren, dens omkrets er retningslinjen. Segmentene som forbinder punktet med retningslinjen kalles generatriser eller generatorer, og punktet der de skjærer hverandre er kjeglens toppunkt.
Rund kjegle kan være rett og skrå. Begge tallene er vist i figuren nedenfor.
Forskjellen mellom dem er denne: hvis perpendikulæren fra toppen av kjeglen faller nøyaktig til midten av sirkelen, vil kjeglen være rett. For ham er perpendikulæren, som kalles høyden på figuren, en del av hans akse. I tilfellet med en skrå kjegle danner høyden og aksen en spiss vinkel.
På grunn av figurens enkelhet og symmetri, vil vi videre vurdere egenskapene til kun en rett kjegle med en rund base.
Få en form ved hjelp av rotasjon
Før du fortsetter å vurdere utviklingen av overflaten til en kjegle, er det nyttig å vite hvordan denne romlige figuren kan oppnås ved hjelp av rotasjon.
Anta at vi har en rettvinklet trekant med sidene a, b, c. De to første av dem er ben, c er hypotenusen. La oss sette en trekant på ben a og begynne å rotere den rundt ben b. Hypotenusen c vil da beskrive en konisk overflate. Denne enkle kjegleteknikken er vist i diagrammet nedenfor.
Selvfølgelig vil ben a være radiusen til figurens grunnflate, ben b vil være høyden, og hypotenusen c tilsvarer generatrisen til en rund høyrekjegle.
Utsikt over utviklingen av kjeglen
Som du kanskje gjetter, er kjeglen dannet av to typer overflater. En av dem er en flat grunnsirkel. Anta at den har radius r. Den andre overflaten er lateral og kalles konisk. La dens generator være lik g.
Hvis vi har en papirkjegle, så kan vi ta en saks og klippe av basen fra den. Deretter skal den koniske overflaten kutteslangs en hvilken som helst generatrise og distribuer den på flyet. På denne måten fikk vi en utvikling av kjeglens sideflate. De to flatene, sammen med den originale kjeglen, er vist i diagrammet nedenfor.
Basisirkelen er avbildet nederst til høyre. Den utfoldede koniske overflaten er vist i midten. Det viser seg at det tilsvarer en eller annen sirkulær sektor av sirkelen, hvis radius er lik lengden på generatrisen g.
Vinkel- og områdesveip
Nå får vi formler som ved hjelp av de kjente parameterne g og r lar oss beregne arealet og vinkelen til kjeglen.
Det er klart at buen til den sirkulære sektoren vist ovenfor i figuren har en lengde som er lik omkretsen av basen, det vil si:
l=2pir.
Hvis hele sirkelen med radius g ble bygget, ville lengden vært:
L=2pig.
Siden lengden L tilsvarer 2pi radianer, kan vinkelen som buen l hviler på bestemmes fra den tilsvarende proporsjonen:
L==>2pi;
l==> φ.
Da vil den ukjente vinkelen φ være lik:
φ=2pil/L.
Ved å erstatte uttrykkene for lengdene l og L, kommer vi frem til formelen for utviklingsvinkelen til kjeglens sideflate:
φ=2pir/g.
Vinkelen φ her er uttrykt i radianer.
For å bestemme arealet Sb av en sirkulær sektor, vil vi bruke den funnet verdien av φ. Vi lager en andel til, kun for områdene. Vi har:
2pi==>pig2;
φ==> Sb.
Hvorfra skal du uttrykke Sb, og deretter erstatte verdien av vinkelen φ. Vi får:
Sb=φg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=pirg.
For området med en konisk overflate har vi fått en ganske kompakt formel. Verdien av Sb er lik produktet av tre faktorer: pi, radiusen til figuren og dens generatrise.
Da vil arealet av hele overflaten av figuren være lik summen av Sb og So (sirkulært basisareal). Vi får formelen:
S=Sb+ So=pir(g + r).
Bygge en fei av en kjegle på papir
For å fullføre denne oppgaven trenger du et stykke papir, en blyant, en vinkelmåler, en linjal og et kompass.
La oss først og fremst tegne en rettvinklet trekant med sidene 3 cm, 4 cm og 5 cm. Rotasjonen rundt benet på 3 cm vil gi den ønskede kjeglen. Figuren har r=3 cm, h=4 cm, g=5 cm.
Å bygge et sveip starter med å tegne en sirkel med radius r med et kompass. Lengden vil være lik 6pi cm. Nå ved siden av vil vi tegne en annen sirkel, men med en radius g. Lengden vil tilsvare 10pi cm. Nå må vi kutte av en sirkulær sektor fra en stor sirkel. Vinkelen φ er:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o.
Nå setter vi denne vinkelen til side med en gradskive på en sirkel med radius g og tegner to radier som vil begrense den sirkulære sektoren.
SåDermed har vi bygget en utvikling av kjeglen med spesifiserte parametere radius, høyde og generatrise.
Et eksempel på å løse et geometrisk problem
Gitt en rund rett kjegle. Det er kjent at vinkelen på det laterale sveipet er 120o. Det er nødvendig å finne radiusen og generatrisen til denne figuren, hvis det er kjent at høyden h på kjeglen er 10 cm.
Oppgaven er ikke vanskelig hvis vi husker at en rund kjegle er en rotasjonsfigur av en rettvinklet trekant. Fra denne trekanten følger et entydig forhold mellom høyde, radius og generatrise. La oss skrive den tilsvarende formelen:
g2=h2+ r2.
Det andre uttrykket som skal brukes ved løsning er formelen for vinkelen φ:
φ=2pir/g.
Dermed har vi to ligninger som relaterer to ukjente størrelser (r og g).
Uttrykk g fra den andre formelen og bytt inn resultatet i den første, vi får:
g=2pir/φ;
h2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1).
Angle φ=120o i radianer er 2pi/3. Vi erstatter denne verdien, vi får de endelige formlene for r og g:
r=h /√8;
g=3t /√8.
Det gjenstår å erstatte høydeverdien og få svar på problemspørsmålet: r ≈ 3,54 cm, g ≈ 10,61 cm.
