Geometriske figurer i rommet er gjenstand for studiet av stereometri, som kurset blir bestått av skolebarn på videregående. Denne artikkelen er viet til et så perfekt polyeder som et prisme. La oss vurdere mer detaljert egenskapene til et prisme og gi formlene som tjener til å beskrive dem kvantitativt.
Hva er et prisme?
Alle forestiller seg hvordan en boks eller kube ser ut. Begge figurene er prismer. Klassen av prismer er imidlertid mye mer mangfoldig. I geometri er denne figuren gitt følgende definisjon: et prisme er et hvilket som helst polyeder i rommet, som er dannet av to parallelle og identiske polygonale sider og flere parallellogrammer. Identiske parallelle flater av en figur kalles dens baser (øvre og nedre). Parallelogrammer er sideflatene til figuren, som forbinder sidene av basen med hverandre.
Hvis basen er representert av en n-gon, hvor n er et heltall, vil figuren bestå av 2+n flater, 2n toppunkter og 3n kanter. Ansikter og kanter referer tilen av to typer: enten tilhører de sideoverflaten, eller til basene. Når det gjelder toppunktene, er de alle like og tilhører grunnflatene til prismet.
Typer av figurer i klassen som studeres
Når du studerer egenskapene til et prisme, bør du liste opp mulige typer av denne figuren:
- Konveks og konkav. Forskjellen mellom dem ligger i formen på den polygonale basen. Hvis den er konkav, vil den også være en tredimensjonal figur, og omvendt.
- Rett og skrått. For et rett prisme er sideflatene enten rektangler eller firkanter. I en skrå figur er sideflatene parallellogrammer av generell type eller romber.
- Feil og riktig. For at figuren som skal studeres skal være korrekt, må den være rett og ha riktig base. Et eksempel på sistnevnte er flate figurer som en likesidet trekant eller en firkant.
Navnet på prismet er dannet under hensyntagen til den oppførte klassifiseringen. For eksempel kalles det rettvinklede parallellepipedet eller kuben nevnt ovenfor et regulært firkantet prisme. Vanlige prismer, på grunn av deres høye symmetri, er praktiske å studere. Egenskapene deres uttrykkes i form av spesifikke matematiske formler.
prismeområde
Når man vurderer en slik egenskap ved et prisme som sitt område, mener de det totale arealet av alle ansiktene. Det er lettest å forestille seg denne verdien hvis du bretter ut figuren, det vil si utvider alle ansiktene til ett plan. Nedenfor påFiguren viser et eksempel på et sveip av to prismer.
For et vilkårlig prisme kan formelen for arealet av sveipet i generell form skrives som følger:
S=2So+ bPsr.
La oss forklare notasjonen. Verdien So er arealet av en base, b er lengden på sidekanten, Psr er den kuttede omkretsen, som er vinkelrett på sideparallellogrammene til figuren.
Den skrevne formelen brukes ofte til å bestemme arealene til skrå prismer. Når det gjelder et regulært prisme, vil uttrykket for S ha en bestemt form:
S=n/2a2ctg(pi/n) + nba.
Det første leddet i uttrykket representerer arealet av de to basene til et regulært prisme, det andre leddet er arealet av siderektanglene. Her er a lengden på siden av en vanlig n-gon. Merk at lengden på sidekanten b for et vanlig prisme også er høyden h, så i formelen kan b erstattes med h.
Hvordan beregner man volumet til en figur?
Prism er et relativt enkelt polyeder med høy symmetri. Derfor, for å bestemme volumet, er det en veldig enkel formel. Det ser slik ut:
V=Soh.
Beregning av grunnflate og høyde kan være vanskelig når du ser på en skrå uregelmessig form. Dette problemet løses ved å bruke sekvensiell geometrisk analyse som involverer informasjon om de dihedriske vinklene mellom sideparallellogrammene og basen.
Hvis prismet er riktig daformelen for V blir ganske konkret:
V=n/4a2ctg(pi/n)h.
Som du kan se, er arealet S og volumet V for et regulært prisme unikt bestemt hvis to av dets lineære parametere er kjent.
Trekantet regulært prisme
La oss avslutte artikkelen med å vurdere egenskapene til et vanlig trekantet prisme. Den er dannet av fem flater, hvorav tre er rektangler (firkanter), og to er likesidede trekanter. Et prisme har seks hjørner og ni kanter. For dette prismet er formlene for volum og overflateareal skrevet nedenfor:
S3=√3/2a2+ 3ta
V3=√3/4a2h.
I tillegg til disse egenskapene er det også nyttig å gi en formel for apotemet til figurens basis, som er høyden ha av en likesidet trekant:
ha=√3/2a.
Sidene av prismet er identiske rektangler. Lengden på diagonalene d er:
d=√(a2+ h2).
Kunnskap om de geometriske egenskapene til et trekantet prisme er av ikke bare teoretisk, men også praktisk interesse. Faktum er at denne figuren, laget av optisk glass, brukes til å studere strålingsspekteret til legemer.
Igjennom et glassprisme sp altes lys til en rekke komponentfarger som et resultat av spredningsfenomenet, som skaper betingelser for å studere den spektrale sammensetningen av en elektromagnetisk fluks.
