Den rette linjen er det geometriske hovedobjektet på planet og i tredimensjon alt rom. Det er fra rette linjer mange figurer bygges, for eksempel: et parallellogram, en trekant, et prisme, en pyramide og så videre. Vurder i artikkelen ulike måter å sette linjelikningene på.
Definisjon av en rett linje og typer ligninger for å beskrive den
Hver elev har en god ide om hvilket geometrisk objekt de snakker om. En rett linje kan representeres som en samling av punkter, og hvis vi kobler hver av dem etter tur med alle de andre, får vi et sett med parallelle vektorer. Med andre ord er det mulig å komme til hvert punkt på linjen fra et av dets faste punkter, og overføre det til en enhetsvektor multiplisert med et reelt tall. Denne definisjonen av en rett linje brukes til å definere en vektorlikhet for dens matematiske beskrivelse både i planet og i tredimensjon alt rom.
En rett linje kan representeres matematisk av følgende typer ligninger:
- general;
- vektor;
- parametrisk;
- i segmenter;
- symmetrisk (kanonisk).
Deretter vil vi vurdere alle de navngitte typene og vise hvordan vi kan jobbe med dem ved å bruke eksempler på å løse problemer.
Vektor og parametrisk beskrivelse av en rett linje
La oss starte med å definere en rett linje gjennom en kjent vektor. Anta at det er et fast punkt i rommet M(x0; y0; z0). Det er kjent at den rette linjen går gjennom den og er rettet langs vektorsegmentet v¯(a; b; c). Hvordan finne et vilkårlig punkt på linjen fra disse dataene? Svaret på dette spørsmålet vil gi følgende likhet:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Hvor λ er et vilkårlig tall.
Et lignende uttrykk kan skrives for det todimensjonale tilfellet, der koordinatene til vektorer og punkter er representert av et sett med to tall:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
De skrevne ligningene kalles vektorligninger, og selve det rettede segmentet v¯ er retningsvektoren for den rette linjen.
Fra de skriftlige uttrykkene oppnås de tilsvarende parametriske ligningene enkelt, det er nok å omskrive dem eksplisitt. For eksempel, for tilfellet i rommet, får vi følgende ligning:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb;
z=z0+ λc
Det er praktisk å jobbe med parametriske ligninger hvis du trenger å analysere atferdenhver koordinat. Merk at selv om parameteren λ kan ha vilkårlige verdier, må den være den samme i alle tre likhetene.
Generell ligning
En annen måte å definere en rett linje, som ofte brukes til å arbeide med det betraktede geometriske objektet, er å bruke en generell ligning. For det todimensjonale tilfellet ser det slik ut:
Ax + By + C=0
Her representerer store latinske bokstaver spesifikke numeriske verdier. Bekvemmeligheten med denne likheten for å løse problemer ligger i det faktum at den eksplisitt inneholder en vektor som er vinkelrett på en rett linje. Hvis vi betegner det med n¯, kan vi skrive:
n¯=[A; B]
I tillegg er uttrykket praktisk å bruke for å bestemme avstanden fra en rett linje til et punkt P(x1; y1). Formelen for avstand d er:
d=|Ax1+ By1+ C| / √(A2+ B2)
Det er lett å vise at hvis vi eksplisitt uttrykker variabelen y fra den generelle ligningen, får vi følgende velkjente form for å skrive en rett linje:
y=kx + b
Hvor k og b er unikt bestemt av tallene A, B, C.
Ligningen i segmenter og kanonisk
Ligningen i segmenter er lettest å få fra den generelle visningen. Vi viser deg hvordan du gjør det.
Anta at vi har følgende linje:
Ax + By + C=0
Flytt frileddet til høyre side av likheten, del deretter hele ligningen med den, vi får:
Ax + By=-C;
x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;
x / q + y / p=1, hvor q=-C / A, p=-C / B
Vi fikk den såk alte ligningen i segmenter. Den fikk navnet sitt på grunn av det faktum at nevneren som hver variabel er delt med viser verdien av koordinaten til skjæringspunktet mellom linjen med den tilsvarende aksen. Det er praktisk å bruke dette faktum til å avbilde en rett linje i et koordinatsystem, samt å analysere dens relative posisjon i forhold til andre geometriske objekter (rette linjer, punkter).
La oss nå gå videre til å få den kanoniske ligningen. Dette er lettere å gjøre hvis vi vurderer det parametriske alternativet. For saken på flyet har vi:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Vi uttrykker parameteren λ i hver likhet, så setter vi likhetstegn mellom dem, får vi:
λ=(x - x0) / a;
λ=(y - y0) / b;
(x - x0) / a=(y - y0) / b
Dette er den ønskede ligningen skrevet i symmetrisk form. Akkurat som et vektoruttrykk, inneholder det eksplisitt koordinatene til retningsvektoren og koordinatene til et av punktene som hører til linjen.
Det kan sees at vi i dette avsnittet har gitt likninger for det todimensjonale tilfellet. På samme måte kan du skrive ligningen til en rett linje i rommet. Det skal her bemerkes at hvis den kanoniske formenposter og uttrykk i segmenter vil ha samme form, da er den generelle ligningen i rommet for en rett linje representert av et system med to ligninger for kryssende plan.
Problemet med å konstruere likningen til en rett linje
Fra geometri vet hver elev at gjennom to punkter kan du tegne en enkelt linje. Anta at følgende punkter er gitt i koordinatplanet:
M1(1; 2);
M2(-1; 3)
Det er nødvendig å finne ligningen for linjen som begge punktene tilhører, i segmenter, i vektor, kanonisk og generell form.
La oss først finne vektorligningen. For å gjøre dette, definer for direkte retningsvektoren M1M2¯:
M1M2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)
Nå kan du lage en vektorligning ved å ta ett av de to punktene som er spesifisert i problemformuleringen, for eksempel M2:
(x; y)=(-1; 3) + λ(-2; 1)
For å få den kanoniske ligningen er det nok å transformere den funnet likheten til en parametrisk form og ekskludere parameteren λ. Vi har:
x=-1 - 2λ, derfor λ=x + 1 / (-2);
y=3 + λ, da får vi λ=y - 3;
x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1
De resterende to ligningene (generelle og i segmenter) kan finnes fra den kanoniske ved å transformere den som følger:
x + 1=-2y + 6;
generell ligning: x + 2y - 5=0;
i segmenter ligning: x / 5 + y / 2, 5=1
De resulterende ligningene viser at vektoren (1; 2) må være vinkelrett på linjen. Faktisk, hvis du finner skalarproduktet med retningsvektoren, vil det være lik null. Linjesegmentligningen sier at linjen skjærer x-aksen ved (5; 0) og y-aksen ved (2, 5; 0).
Problemet med å bestemme skjæringspunktet for linjer
To rette linjer er gitt på planet av følgende ligninger:
2x + y -1=0;
(x; y)=(0; -1) + λ(-1; 3)
Det er nødvendig å bestemme koordinatene til punktet der disse linjene skjærer hverandre.
Det er to måter å løse problemet på:
- Transformer vektorligningen til en generell form, og løs deretter systemet med to lineære ligninger.
- Ikke utfør noen transformasjoner, men bytt ut koordinaten til skjæringspunktet, uttrykt gjennom parameteren λ, inn i den første ligningen. Finn deretter parameterverdien.
La oss gjøre den andre veien. Vi har:
x=-λ;
y=-1 + 3λ;
2(-λ) + (-1) + 3λ - 1=0;
λ=2
Sett det resulterende tallet inn i vektorligningen:
(x; y)=(0; -1) + 2(-1; 3)=(-2; 5)
Dermed er det eneste punktet som hører til begge linjene punktet med koordinater (-2; 5). Linjene krysser hverandre i den.
