I 1900 kompilerte en av de største vitenskapsmennene i forrige århundre, David Hilbert, en liste over 23 uløste problemer i matematikk. Arbeidet med dem hadde en enorm innvirkning på utviklingen av dette området av menneskelig kunnskap. 100 år senere presenterte Clay Mathematical Institute en liste over 7 problemer kjent som Millennium-problemene. Hver av dem ble tilbudt en premie på $1 million.
Det eneste problemet som dukket opp blant begge listene over gåter som har hjemsøkt forskere i mer enn ett århundre, var Riemann-hypotesen. Hun venter fortsatt på avgjørelsen.
Kort biografisk notat
Georg Friedrich Bernhard Riemann ble født i 1826 i Hannover, i en stor familie av en fattig pastor, og levde bare 39 år. Han rakk å publisere 10 verk. Imidlertid ble Riemann allerede i løpet av sin levetid ansett som etterfølgeren til sin lærer Johann Gauss. I en alder av 25 forsvarte den unge forskeren sin avhandling "Fundamentals of theory of functions of a complex variabel." Senere formulerte hanhans berømte hypotese.
primtall
Matematikk dukket opp da mennesket lærte å telle. Samtidig oppsto de første ideene om tall, som de senere forsøkte å klassifisere. Noen av dem har blitt observert å ha felles egenskaper. Spesielt blant naturlige tall, det vil si de som ble brukt til å telle (nummerere) eller angi antall objekter, ble det skilt ut en gruppe som bare var delbare med en og av seg selv. De kalles enkle. Et elegant bevis på uendelighetsteoremet til settet med slike tall ble gitt av Euklid i hans Elementer. For øyeblikket fortsetter søket deres. Spesielt er det største tallet som allerede er kjent 274 207 281 – 1.
Euler-formel
Sammen med konseptet om uendeligheten til settet med primtall, bestemte Euklid også den andre teoremet om den eneste mulige dekomponeringen til primfaktorer. Ifølge den er ethvert positivt heltall produktet av bare ett sett med primtall. I 1737 uttrykte den store tyske matematikeren Leonhard Euler Euklids første uendelighetsteorem som formelen nedenfor.
Det kalles zeta-funksjonen, der s er en konstant og p tar alle prime verdier. Euklids uttalelse om det unike ved utvidelsen fulgte direkte av den.
Riemann Zeta-funksjon
Eulers formel, ved nærmere ettersyn, er fullstendigoverraskende fordi den definerer forholdet mellom primtall og heltall. Tross alt multipliseres uendelig mange uttrykk som kun er avhengige av primtall på venstre side, og summen assosiert med alle positive heltall er plassert til høyre
Riemann gikk lenger enn Euler. For å finne nøkkelen til problemet med fordelingen av tall, foreslo han å definere en formel for både reelle og komplekse variabler. Det var hun som senere fikk navnet på Riemann zeta-funksjonen. I 1859 publiserte forskeren en artikkel med tittelen "Om antallet primtall som ikke overskrider en gitt verdi", der han oppsummerte alle ideene sine.
Riemann foreslo å bruke Euler-serien, som konvergerer for enhver ekte s>1. Hvis den samme formelen brukes for komplekse s, vil serien konvergere for enhver verdi av denne variabelen med en reell del større enn 1. Riemann brukte den analytiske fortsettelsesprosedyren, og utvidet definisjonen av zeta(er) til alle komplekse tall, men "kastet ut" enheten. Den ble ekskludert fordi ved s=1 øker zeta-funksjonen til uendelig.
Praktisk sans
Et logisk spørsmål oppstår: hvorfor er zeta-funksjonen, som er nøkkelen i Riemanns arbeid med nullhypotesen, interessant og viktig? Som du vet, er det for øyeblikket ikke identifisert noe enkelt mønster som kan beskrive fordelingen av primtall blant naturlige tall. Riemann var i stand til å oppdage at tallet pi(x) av primtall som ikke oversteg x er uttrykt i form av fordelingen av ikke-trivielle nuller i zeta-funksjonen. Dessuten er Riemann-hypotesenen nødvendig betingelse for å bevise tidsanslag for driften av noen kryptografiske algoritmer.
Riemann-hypotese
En av de første formuleringene av dette matematiske problemet, som ikke er bevist til i dag, høres slik ut: ikke-trivielle 0 zeta-funksjoner er komplekse tall med reell del lik ½. De er med andre ord plassert på linjen Re s=½.
Det er også en generalisert Riemann-hypotese, som er det samme utsagnet, men for generaliseringer av zeta-funksjoner, som vanligvis kalles Dirichlet L-funksjoner (se bildet nedenfor).
I formelen χ(n) - et eller annet numerisk tegn (modulo k).
Den riemannske setningen regnes som den såk alte nullhypotesen, ettersom den har blitt testet for samsvar med eksisterende eksempeldata.
Som Riemann argumenterte
Bemerkningen til den tyske matematikeren ble opprinnelig formulert ganske tilfeldig. Faktum er at på den tiden skulle forskeren bevise teoremet om fordelingen av primtall, og i denne sammenhengen var denne hypotesen ikke av spesiell betydning. Dens rolle i å løse mange andre problemer er imidlertid enorm. Det er derfor Riemanns antakelse nå er anerkjent av mange forskere som den viktigste av de ubeviste matematiske problemene.
Som allerede nevnt, er ikke hele Riemann-hypotesen nødvendig for å bevise distribusjonsteoremet, og det er nok til å begrunne logisk at den reelle delen av enhver ikke-triviell null av zeta-funksjonen er imellom 0 og 1. Det følger av denne egenskapen at summen over alle 0-ene til zeta-funksjonen som vises i den eksakte formelen ovenfor er en endelig konstant. For store verdier av x kan det gå tapt helt. Det eneste medlemmet av formelen som forblir det samme selv for veldig stor x er x selv. De gjenværende komplekse begrepene forsvinner asymptotisk sammenlignet med det. Så den vektede summen har en tendens til x. Denne omstendigheten kan betraktes som en bekreftelse på sannheten til teoremet om fordelingen av primtall. Dermed har nullene til Riemann zeta-funksjonen en spesiell rolle. Den består i å bevise at slike verdier ikke kan gi et vesentlig bidrag til nedbrytningsformelen.
Followers of Riemann
Tragisk død fra tuberkulose tillot ikke denne forskeren å bringe programmet sitt til dets logiske slutt. Sh-Zh tok imidlertid over etter ham. de la Vallée Poussin og Jacques Hadamard. Uavhengig av hverandre utledet de et teorem om fordelingen av primtall. Hadamard og Poussin klarte å bevise at alle ikke-trivielle 0 zeta-funksjoner er innenfor det kritiske båndet.
Takket være arbeidet til disse forskerne har en ny retning innen matematikk dukket opp - den analytiske teorien om tall. Senere ble flere primitive bevis på teoremet som Riemann jobbet med, innhentet av andre forskere. Spesielt, Pal Erdős og Atle Selberg oppdaget til og med en veldig kompleks logisk kjede som bekreftet den, som ikke krevde bruk av kompleks analyse. Men på dette tidspunktet flere viktigeteoremer, inkludert tilnærminger av mange tallteoretiske funksjoner. I denne forbindelse påvirket det nye arbeidet til Erdős og Atle Selberg praktisk t alt ingenting.
Et av de enkleste og vakreste bevisene på problemet ble funnet i 1980 av Donald Newman. Den var basert på det berømte Cauchy-teoremet.
Truer den riemannske hypotesen grunnlaget for moderne kryptografi
Datakryptering oppsto sammen med utseendet til hieroglyfer, mer presist kan de selv betraktes som de første kodene. For øyeblikket er det et helt område innen digital kryptografi, som utvikler krypteringsalgoritmer.
Prim- og "semi-primtall", dvs. de som kun er delbare med 2 andre tall fra samme klasse, danner grunnlaget for det offentlige nøkkelsystemet kjent som RSA. Den har den bredeste applikasjonen. Spesielt brukes den når du genererer en elektronisk signatur. Riemann-hypotesen taler i termer som er tilgjengelige for dummies, og hevder eksistensen av et system i fordelingen av primtall. Dermed er styrken til kryptografiske nøkler, som sikkerheten til nettbaserte transaksjoner innen e-handel er avhengig av, betydelig redusert.
Andre uløste matematikkproblemer
Det er verdt å fullføre artikkelen med å vie noen få ord til andre tusenårsmål. Disse inkluderer:
- Likestilling av klassene P og NP. Problemstillingen er formulert som følger: hvis et positivt svar på et bestemt spørsmål kontrolleres i polynomtid, er det sant at svaret på dette spørsmålet i seg selvkan bli funnet raskt?
- Hodges formodning. Med enkle ord kan det formuleres som følger: for noen typer projektive algebraiske varianter (mellomrom), er Hodge-sykluser kombinasjoner av objekter som har en geometrisk tolkning, dvs. algebraiske sykluser.
- Poincarés formodning. Dette er den eneste Millennium Challenge som har blitt bevist så langt. Ifølge den må ethvert 3-dimensjon alt objekt som har de spesifikke egenskapene til en 3-dimensjonal sfære være en sfære, opp til deformasjon.
- Bekreftelse av kvanteteorien til Yang - Mills. Det kreves å bevise at kvanteteorien fremsatt av disse forskerne for rommet R 4 eksisterer og har en 0. massedefekt for enhver enkel kompaktmålergruppe G.
- Birch-Swinnerton-Dyer-hypotese. Dette er et annet problem knyttet til kryptografi. Den berører elliptiske kurver.
- Problemet med eksistensen og smidigheten til løsninger på Navier-Stokes-ligningene.
Nå kjenner du Riemann-hypotesen. Enkelt sagt har vi formulert noen av de andre tusenårsutfordringene. At de blir løst eller det vil bli bevist at de ikke har noen løsning er et spørsmål om tid. Dessuten er det usannsynlig at dette må vente for lenge, siden matematikk i økende grad bruker datamaskinens datafunksjoner. Imidlertid er ikke alt underlagt teknologi, og først og fremst kreves intuisjon og kreativitet for å løse vitenskapelige problemer.
