Selv på skolen blir alle elever kjent med konseptet "euklidisk geometri", hvis hovedbestemmelser er fokusert rundt flere aksiomer basert på slike geometriske elementer som punkt, plan, linje, bevegelse. Alle sammen danner det som lenge har vært kjent under begrepet "Euklidisk rom".
Euklidisk rom, hvis definisjon er basert på begrepet skalar multiplikasjon av vektorer, er et spesi altilfelle av et lineært (affint) rom som tilfredsstiller en rekke krav. For det første er skalarproduktet av vektorer absolutt symmetrisk, det vil si at vektoren med koordinater (x;y) er kvantitativt identisk med vektoren med koordinater (y;x), men motsatt i retning.
For det andre, hvis skalarproduktet av en vektor med seg selv utføres, vil resultatet av denne handlingen være positivt. Det eneste unntaket vil være tilfellet når start- og sluttkoordinatene til denne vektoren er lik null: i dette tilfellet vil dens produkt med seg selv også være lik null.
For det tredje er skalarproduktet distributivt, det vil si at det er mulig å dekomponere en av dets koordinater til summen av to verdier, noe som ikke vil medføre noen endringer i sluttresultatet av skalar multiplikasjon av vektorer. Til slutt, for det fjerde, når vektorer multipliseres med det samme reelle tallet, vil deres skalarprodukt også øke med samme faktor.
Hvis alle disse fire betingelsene er oppfylt, kan vi med sikkerhet si at vi har et euklidisk rom.
Euklidisk rom fra et praktisk synspunkt kan karakteriseres ved følgende spesifikke eksempler:
- Det enkleste tilfellet er tilstedeværelsen av et sett med vektorer med et skalarprodukt definert i henhold til geometriens grunnleggende lover.
- Euklidisk rom vil også bli oppnådd hvis vi med vektorer mener et bestemt begrenset sett med reelle tall med en gitt formel som beskriver deres skalarsum eller produkt.
- Et spesi altilfelle av euklidisk rom er det såk alte nullrommet, som oppnås hvis skalarlengden til begge vektorene er lik null.
Euklidisk rom har en rekke spesifikke egenskaper. For det første kan skalarfaktoren tas ut av parentes både fra den første og andre faktoren til skalarproduktet, resultatet fra dette vil ikke endres på noen måte. For det andre, sammen med distributiviteten til det første elementet i skalarenprodukt, virker distributiviteten til det andre elementet også. I tillegg, i tillegg til skalarsummen av vektorer, finner også distributivitet sted ved vektorsubtraksjon. Til slutt, for det tredje, når en vektor multipliseres skalært med null, vil resultatet også være null.
Dermed er det euklidiske rommet det viktigste geometriske konseptet som brukes til å løse problemer med gjensidig arrangement av vektorer i forhold til hverandre, som er preget av et konsept som skalarproduktet.
