Algebraiske ulikheter eller deres systemer med rasjonelle koeffisienter hvis løsninger søkes i heltall eller heltall. Som regel er antallet ukjente i diofantiske ligninger større. Dermed er de også kjent som ubestemte ulikheter. I moderne matematikk brukes konseptet ovenfor på algebraiske ligninger hvis løsninger søkes i algebraiske heltall av en viss utvidelse av feltet for Q-rasjonelle variabler, feltet for p-adiske variabler, etc.
Opprinnelsen til disse ulikhetene
Studien av de diofantiske ligningene er på grensen mellom tallteori og algebraisk geometri. Å finne løsninger i heltallsvariabler er et av de eldste matematiske problemene. Allerede i begynnelsen av det andre årtusen f. Kr. de gamle babylonerne klarte å løse ligningssystemer med to ukjente. Denne grenen av matematikk blomstret mest i antikkens Hellas. Regnestykket til Diophantus (ca. 3. århundre e. Kr.) er en betydelig og hovedkilde som inneholder ulike typer og ligningssystemer.
I denne boken forutså Diophantus en rekke metoder for å studere ulikhetene i andre og tredjegrader som var fullt utviklet på 1800-tallet. Opprettelsen av teorien om rasjonelle tall av denne forskeren i antikkens Hellas førte til analysen av logiske løsninger på ubestemte systemer, som systematisk følges i boken hans. Selv om arbeidet hans inneholder løsninger på spesifikke diofantiske ligninger, er det grunn til å tro at han også var kjent med flere generelle metoder.
Undersøkelsen av disse ulikhetene er vanligvis forbundet med alvorlige vanskeligheter. På grunn av det faktum at de inneholder polynomer med heltallskoeffisienter F (x, y1, …, y). Basert på dette ble det trukket konklusjoner om at det ikke finnes en enkelt algoritme som kan brukes til å bestemme for en gitt x om ligningen F (x, y1, …., y ). Situasjonen kan løses for y1, …, y . Eksempler på slike polynomer kan skrives.
Den enkleste ulikheten
ax + by=1, der a og b er relativt heltall og primtall, har den et stort antall utførelser (hvis x0, y0 resultatet dannes, deretter paret med variabler x=x0 + b og y=y0 -an, der n er vilkårlig, vil også bli betraktet som en ulikhet). Et annet eksempel på diofantiske ligninger er x2 + y2 =z2. De positive integralløsningene av denne ulikheten er lengdene på de små sidene x, y og rettvinklede trekanter, samt hypotenusen z med heltallssidedimensjoner. Disse tallene er kjent som Pythagoras tall. Alle trillinger med hensyn til primtall angittvariablene ovenfor er gitt av x=m2 – n2, y=2mn, z=m2+ n2, der m og n er heltall og primtall (m>n>0).
Diophantus søker i sin aritmetikk etter rasjonelle (ikke nødvendigvis integrerte) løsninger for spesielle typer av hans ulikheter. En generell teori for løsning av diofantiske ligninger av første grad ble utviklet av C. G. Baschet på 1600-tallet. Andre forskere på begynnelsen av 1800-tallet studerte hovedsakelig lignende ulikheter som ax2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0, hvor a, b, c, d, e og f er generelle, heterogene, med to ukjente av andre grad. Lagrange brukte fortsatte brøker i studien. Gauss for kvadratiske former utviklet en generell teori som ligger til grunn for noen typer løsninger.
I studiet av disse annengrads ulikhetene ble det gjort betydelige fremskritt først på 1900-tallet. A. Thue fant at den diofantiske ligningen a0x + a1xn- 1 y +…+a y =c, der n≧3, a0, …, a , c er heltall, og a0tn + …+ a kan ikke ha et uendelig antall heltallsløsninger. Thues metode var imidlertid ikke skikkelig utviklet. A. Baker laget effektive teoremer som gir estimater for ytelsen til noen ligninger av denne typen. BN Delaunay foreslo en annen undersøkelsesmetode for en smalere klasse av disse ulikhetene. Spesielt er formen ax3 + y3 =1 fullstendig oppløselig på denne måten.
Diofantiske ligninger: løsningsmetoder
Teorien om Diophantus har mange retninger. Et velkjent problem i dette systemet er derfor hypotesen om at det ikke finnes noen ikke-triviell løsning av de diofantiske ligningene xn + y =z n if n ≧ 3 (Fermats spørsmål). Studiet av heltallsoppfyllelser av ulikheten er en naturlig generalisering av problemet med pytagoreiske trillinger. Euler oppnådde en positiv løsning av Fermats problem for n=4. I kraft av dette resultatet refererer det til beviset på det manglende heltall, ikke-null studier av ligningen hvis n er et oddetall primtall.
Utredningen vedrørende vedtaket er ikke fullført. Vanskelighetene med implementeringen er knyttet til det faktum at den enkle faktoriseringen i ringen av algebraiske heltall ikke er unik. Teorien om divisorer i dette systemet for mange klasser av primeksponenter n gjør det mulig å bekrefte gyldigheten av Fermats teorem. Dermed blir den lineære diofantiske ligningen med to ukjente oppfylt av de eksisterende metodene og måtene.
Typer og typer beskrevne oppgaver
Aritmetikk av ringer med algebraiske heltall brukes også i mange andre problemer og løsninger av diofantiske ligninger. Slike metoder ble for eksempel brukt for å oppfylle ulikheter av formen N(a1 x1 +…+ a x)=m, der N(a) er normen til a, og x1, …, xn integral rasjonelle variabler er funnet. Denne klassen inkluderer Pell-ligningen x2–dy2=1.
Verdienea1, …, a som vises, disse ligningene er delt inn i to typer. Den første typen - de såk alte komplette formene - inkluderer ligninger der det blant a er m lineært uavhengige tall over feltet av rasjonelle variabler Q, der m=[Q(a1, …, a):Q], der det er en grad av algebraiske eksponenter Q (a1, …, a ) over Q. Ufullstendige arter er de i som maksim alt antall a i mindre enn m.
Fullstendige skjemaer er enklere, studien deres er komplett, og alle løsninger kan beskrives. Den andre typen, ufullstendige arter, er mer komplisert, og utviklingen av en slik teori er ennå ikke fullført. Slike ligninger studeres ved å bruke diofantiske tilnærminger, som inkluderer ulikheten F(x, y)=C, hvor F (x, y) er et irreduserbart, homogent polynom med grad n≧3. Dermed kan vi anta at yi→∞. Følgelig, hvis yi er stor nok, vil ulikheten motsi teoremet til Thue, Siegel og Roth, hvorav det følger at F(x, y)=C, hvor F er en form av tredje grad eller høyere, kan det irredusible ikke ha et uendelig antall løsninger.
Hvordan løser jeg en diofantligning?
Dette eksemplet er en ganske smal klasse blant alle. For eksempel, til tross for sin enkelhet, x3 + y3 + z3=N, og x2 +y 2 +z2 +u2 =N er ikke inkludert i denne klassen. Studiet av løsninger er en ganske nøye studert gren av diofantiske ligninger, der grunnlaget er representasjonen av andregradsformer av tall. Lagrangelaget et teorem som sier at oppfyllelsen eksisterer for alle naturlige N. Ethvert naturlig tall kan representeres som summen av tre kvadrater (Gauss sin teorem), men det skal ikke ha formen 4a (8K- 1), der a og k er ikke-negative heltallseksponenter.
Rasjonelle eller integrerte løsninger til et system av en diofantisk ligning av typen F (x1, …, x)=a, hvor F (x 1, …, x) er en kvadratisk form med heltallskoeffisienter. I følge Minkowski-Hasse-setningen vil således ulikheten ∑aijxixj=b ijog b er rasjonell, har en integralløsning i reelle og p-adiske tall for hvert primtall p bare hvis det er løsbart i denne strukturen.
På grunn av de iboende vanskelighetene har studiet av tall med vilkårlige former av tredje grad og høyere blitt studert i mindre grad. Hovedutførelsesmetoden er metoden for trigonometriske summer. I dette tilfellet er antall løsninger til ligningen eksplisitt skrevet i form av Fourier-integralet. Deretter brukes miljømetoden for å uttrykke antall oppfyllelse av ulikheten til de tilsvarende kongruensene. Metoden for trigonometriske summer avhenger av de algebraiske egenskapene til ulikhetene. Det finnes et stort antall elementære metoder for å løse lineære diofantiske ligninger.
Diophantine analysis
Matematisk institutt, hvis emne er studiet av integrerte og rasjonelle løsninger av systemer av ligninger av algebra ved hjelp av geometrimetoder, fra sammekuler. I andre halvdel av 1800-tallet førte fremveksten av denne tallteorien til studiet av de diofantiske ligningene fra et vilkårlig felt med koeffisienter, og løsninger ble vurdert enten i det eller i dets ringer. Systemet med algebraiske funksjoner utviklet seg parallelt med tall. Den grunnleggende analogien mellom de to, som ble fremhevet av D. Hilbert og spesielt L. Kronecker, førte til en enhetlig konstruksjon av ulike aritmetiske begreper, som vanligvis kalles globale.
Dette er spesielt merkbart hvis de algebraiske funksjonene som studeres over et begrenset felt med konstanter er én variabel. Begreper som klassefeltteori, divisor og forgrening og resultater er en god illustrasjon av det ovennevnte. Dette synspunktet ble først senere adoptert i systemet med diofantiske ulikheter, og systematisk forskning ikke bare med numeriske koeffisienter, men også med koeffisienter som er funksjoner, begynte først på 1950-tallet. En av de avgjørende faktorene i denne tilnærmingen var utviklingen av algebraisk geometri. Den samtidige studien av feltene tall og funksjoner, som oppstår som to like viktige sider ved samme emne, ga ikke bare elegante og overbevisende resultater, men førte til gjensidig berikelse av de to emnene.
I algebraisk geometri erstattes forestillingen om en variasjon med et ikke-invariant sett med ulikheter over et gitt felt K, og deres løsninger erstattes av rasjonelle punkter med verdier i K eller i dens endelige utvidelse. Man kan følgelig si at det grunnleggende problemet med diofantinsk geometri er studiet av rasjonelle punkterav et algebraisk sett X(K), mens X er visse tall i feltet K. Heltallsutførelse har en geometrisk betydning i lineære diofantiske ligninger.
Ulikhetsstudier og utførelses alternativer
Når man studerer rasjonelle (eller integrerte) punkter på algebraiske varianter, oppstår det første problemet, som er deres eksistens. Hilberts tiende problem er formulert som problemet med å finne en generell metode for å løse dette problemet. I prosessen med å lage en nøyaktig definisjon av algoritmen og etter at det ble bevist at det ikke er slike henrettelser for et stort antall problemer, fikk problemet et åpenbart negativt resultat, og det mest interessante spørsmålet er definisjonen av klasser av diofantiske ligninger som systemet ovenfor eksisterer for. Den mest naturlige tilnærmingen, fra et algebraisk synspunkt, er det såk alte Hasse-prinsippet: startfeltet K studeres sammen med dets kompletteringer Kv over alle mulige estimater. Siden X(K)=X(Kv) er en nødvendig betingelse for å eksistere, og K-punktet tar hensyn til at mengden X(Kv) er ikke tom for alle v.
Betydningen ligger i det faktum at den samler to problemer. Den andre er mye enklere, den kan løses med en kjent algoritme. I det spesielle tilfellet hvor variasjonen X er projektiv, gjør Hansels lemma og dets generaliseringer ytterligere reduksjon mulig: problemet kan reduseres til studiet av rasjonelle poeng over et begrenset felt. Så bestemmer han seg for å bygge et konsept enten gjennom konsekvent forskning eller mer effektive metoder.
Sisteen viktig faktor er at mengdene X(Kv) ikke er tomme for alle bortsett fra et endelig antall v, så antallet betingelser er alltid endelig og de kan testes effektivt. Hasses prinsipp gjelder imidlertid ikke for gradkurver. For eksempel har 3x3 + 4y3=5 poeng i alle p-adiske tallfelt og i system av reelle tall, men har ingen rasjonelle poeng.
Denne metoden fungerte som et utgangspunkt for å konstruere et konsept som beskriver klassene av prinsipielle homogene rom av Abelske varianter for å utføre et "avvik" fra Hasse-prinsippet. Det er beskrevet i form av en spesiell struktur som kan knyttes til hver manifold (Tate-Shafarevich-gruppen). Teoriens hovedvanskelighet ligger i det faktum at metoder for å beregne grupper er vanskelige å få tak i. Dette konseptet har også blitt utvidet til andre klasser av algebraiske varianter.
Søk etter en algoritme for å oppfylle ulikheter
En annen heuristisk idé brukt i studiet av diofantiske ligninger er at hvis antallet variabler involvert i et sett med ulikheter er stort, så har systemet vanligvis en løsning. Dette er imidlertid svært vanskelig å bevise for en bestemt sak. Den generelle tilnærmingen til problemer av denne typen bruker analytisk tallteori og er basert på estimater for trigonometriske summer. Denne metoden ble opprinnelig brukt på spesielle typer ligninger.
Men senere ble det bevist med dens hjelp at hvis formen til en oddetall er F, i dog n variabler og med rasjonelle koeffisienter, så er n stor nok sammenlignet med d, så den projektive hyperoverflaten F=0 har et rasjonelt punkt. I følge Artins formodning er dette resultatet sant selv om n > d2. Dette er kun bevist for kvadratiske former. Lignende problemer kan stilles for andre felt også. Det sentrale problemet med diofantinsk geometri er strukturen til settet med heltall eller rasjonelle punkter og deres studie, og det første spørsmålet som skal avklares er om dette settet er endelig. I denne oppgaven har situasjonen vanligvis et begrenset antall henrettelser hvis graden av systemet er mye større enn antallet variabler. Dette er den grunnleggende antagelsen.
Ulikheter på linjer og kurver
Gruppen X(K) kan representeres som en direkte sum av en fri struktur med rang r og en endelig gruppe av orden n. Siden 1930-tallet har man studert spørsmålet om hvorvidt disse tallene er avgrenset på settet av alle elliptiske kurver over et gitt felt K. Begrensningen til torsjonen n ble påvist på syttitallet. Det er kurver med vilkårlig høy rangering i det funksjonelle tilfellet. I det numeriske tilfellet er det fortsatt ikke noe svar på dette spørsmålet.
Til slutt sier Mordells formodning at antallet integrerte punkter er begrenset for en kurve av slekten g>1. I det funksjonelle tilfellet ble dette konseptet demonstrert av Yu. I. Manin i 1963. Hovedverktøyet som brukes til å bevise endelighetsteoremer i diofantinsk geometri er høyden. Av de algebraiske variantene er dimensjonene over en abelskemanifolder, som er de flerdimensjonale analogene til elliptiske kurver, har vært de mest grundig studert.
A. Weil generaliserte teoremet om endeligheten til antall generatorer i en gruppe rasjonelle punkter til abelske varianter av enhver dimensjon (Mordell-Weil-konseptet), og utvidet det. På 1960-tallet dukket formodningen til Birch og Swinnerton-Dyer opp, og forbedret denne og gruppen og zeta-funksjonene til manifolden. Numeriske bevis støtter denne hypotesen.
Løsbarhetsproblem
Problemet med å finne en algoritme som kan brukes til å bestemme om en diofantligning har en løsning. Et vesentlig trekk ved problemet som stilles er søket etter en universell metode som vil være egnet for enhver ulikhet. En slik metode vil også tillate å løse systemene ovenfor, siden den er ekvivalent med P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 eller p21+ ⋯ + P2K=0. n12+⋯+pK2=0. Problemet med å finne en slik universell måte å finne løsninger for lineære ulikheter i heltall ble stilt av D. Gilbert.
På begynnelsen av 1950-tallet dukket de første studiene opp med sikte på å bevise at det ikke finnes en algoritme for å løse diofantiske ligninger. På dette tidspunktet dukket Davis-formodningen opp, som sa at ethvert tallrik sett også tilhører den greske vitenskapsmannen. Fordi eksempler på algoritmisk ubestemte sett er kjent, men er rekursivt tallrike. Det følger at Davis-antagelsen er sann og problemet med løselighet av disse ligningenehar en negativ utførelse.
Etter det, for Davis-antagelsen, gjenstår det å bevise at det finnes en metode for å transformere en ulikhet som også (eller ikke) samtidig har en løsning. Det ble vist at en slik endring av den diofantiske ligningen er mulig hvis den har de to ovennevnte egenskapene: 1) i enhver løsning av denne typen v ≦ uu; 2) for enhver k, er det en utførelse med eksponentiell vekst.
Et eksempel på en lineær diofantligning av denne klassen fullførte beviset. Problemet med eksistensen av en algoritme for løsbarhet og gjenkjennelse av disse ulikhetene i rasjonelle tall anses fortsatt som et viktig og åpent spørsmål som ikke er studert tilstrekkelig.
