Evnen til å arbeide med numeriske uttrykk som inneholder en kvadratrot er nødvendig for vellykket løsning av en rekke problemer fra OGE og USE. I disse eksamenene er det vanligvis tilstrekkelig med en grunnleggende forståelse av hva rotutvinning er og hvordan det gjøres i praksis.
Definition
Den n-te roten av et tall X er et tall x der likheten er sann: xn =X.
Å finne verdien av et uttrykk med en rot betyr å finne x gitt X og n.
Kvadratroten eller, som er den samme, den andre roten av X - tallet x som likheten er oppfylt for: x2 =X.
Betegnelse: ∛Х. Her er 3 graden av roten, X er rotuttrykket. Tegnet '√' kalles ofte en radikal.
Hvis tallet over roten ikke indikerer graden, er standardgraden 2.
I et skolekurs for jevne grader vurderes vanligvis ikke negative røtter og radikale uttrykk. For eksempel er det nei√-2, og for uttrykket √4 er det riktige svaret 2, til tross for at (-2)2 også er lik 4.
Røttenes rasjonalitet og irrasjonalitet
Den enkleste oppgaven med en rot er å finne verdien av et uttrykk eller teste det for rasjonalitet.
For eksempel, beregne verdiene √25; ∛8; ∛-125:
- √25=5 fordi 52 =25;
- ∛8=2 fordi 23 =8;
- ∛ - 125=-5 siden (-5)3 =-125.
Svarene i de gitte eksemplene er rasjonelle tall.
Når du arbeider med uttrykk som ikke inneholder bokstavelige konstanter og variabler, anbefales det å alltid utføre en slik sjekk ved å bruke den inverse operasjonen med å heve til en naturlig potens. Å finne tallet x til n-te potens tilsvarer å beregne produktet av n faktorer av x.
Det er mange uttrykk med en rot, hvis verdi er irrasjonell, det vil si skrevet som en uendelig ikke-periodisk brøk.
Per definisjon er rasjonaler de som kan uttrykkes som en vanlig brøk, og irrasjonaler er alle andre reelle tall.
Disse inkluderer √24, √0, 1, √101.
Hvis oppgaveboken sier: finn verdien av uttrykket med roten 2, 3, 5, 6, 7 osv., det vil si fra de naturlige tallene som ikke finnes i kvadrattabellen, da er det riktige svaret √ 2 kan være til stede (med mindre annet er oppgitt).
Evaluering
I problemer medet åpent svar, hvis det er umulig å finne verdien av et uttrykk med en rot og skrive det som et rasjonelt tall, bør resultatet stå som et radikal.
Noen oppgaver kan kreve evaluering. Sammenlign for eksempel 6 og √37. Løsningen krever å kvadrere begge tallene og sammenligne resultatene. Av to tall er den som har større kvadrat større. Denne regelen fungerer for alle positive tall:
- 62 =36;
- 372 =37;
- 37 >36;
- betyr √37 > 6.
På samme måte løses problemer der flere tall må ordnes i stigende eller synkende rekkefølge.
Eksempel: Ordne 5, √6, √48, √√64 i stigende rekkefølge.
Etter kvadrating har vi: 25, 6, 48, √64. Man kan kvadrere alle tallene på nytt for å sammenligne dem med √64, men det er lik det rasjonelle tallet 8. 6 < 8 < 25 < 48, så løsningen er: 48.
Forenkling av uttrykket
Det hender at det er umulig å finne verdien av et uttrykk med en rot, så det må forenkles. Følgende formel hjelper med dette:
√ab=√a√b.
Roten av produktet av to tall er lik produktet av røttene deres. Denne operasjonen krever også muligheten til å faktorisere et tall.
I den innledende fasen, for å få fart på arbeidet, anbefales det å ha en tabell med primtall og ruter for hånden. Disse tabellene med hyppigebruk i fremtiden vil bli husket.
For eksempel, √242 er et irrasjonelt tall, du kan konvertere det slik:
- 242=2 × 121;
- √242=√(2 × 121);
- √2 × √121=√2 × 11.
Vanligvis skrives resultatet som 11√2 (les: elleve røtter av to).
Hvis det er vanskelig å umiddelbart se hvilke to faktorer et tall må dekomponeres til slik at en naturlig rot kan trekkes ut fra en av dem, kan du bruke hele dekomponeringen til primfaktorer. Hvis samme primtall forekommer to ganger i utvidelsen, tas det ut av rottegnet. Når det er mange faktorer, kan du trekke ut roten i flere trinn.
Eksempel: √2400=√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5). Tallet 2 forekommer i utvidelsen 2 ganger (faktisk mer enn to ganger, men vi er fortsatt interessert i de to første forekomstene i utvidelsen).
Vi tar det ut under rottegnet:
√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5).
Gjenta samme handling:
2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5).
I det gjenværende radikale uttrykket forekommer 2 og 3 én gang, så det gjenstår å ta ut faktoren 5:
2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5)=5 × 2 × 2√(2 × 3);
og utfør aritmetiske operasjoner:
5 × 2 × 2√(2 × 3)=20√6.
Så vi får √2400=20√6.
Hvis oppgaven ikke eksplisitt sier: "finn verdien av uttrykket med kvadratrot", så valget,i hvilken form man skal la svaret (om man skal trekke ut roten fra under radikalen) forblir hos eleven og kan avhenge av at problemet løses.
Først stilles det høye krav til utforming av oppgaver, beregningen, inkludert muntlig eller skriftlig, uten bruk av tekniske midler.
Først etter en god beherskelse av reglene for arbeid med irrasjonelle numeriske uttrykk, er det fornuftig å gå videre til vanskeligere bokstavelige uttrykk og til å løse irrasjonelle ligninger og beregne rekkevidden av mulige verdier for uttrykket under radikal.
Studenter møter denne typen problemer ved Unified State-eksamenen i matematikk, så vel som i det første året ved spesialiserte universiteter når de studerer matematisk analyse og relaterte disipliner.
